你知道吗？2和10的整数次幂永不相等

序言

《编码》这本书曾经在我的豆瓣“想读”列表中躺了很久，大概在今年年初才开始看。但读着读着发现书中的电路图越来越多，而我的阅读热情也随之被慢慢浇灭。五月初的时候，终究还是把它合上，并在豆瓣上羞愧难当地将其标注为“读过”。

抛开晦涩的电路图不谈，书中有一句话吸引了我的注意力

加了标注后的《编码》一书中的原话.jpg

第一次读到这里时，我想作者应当会在下一段给出具体的证明过程——结果居然没有。难道作者觉得两侧的空白太小了，不足以写下他所发现的美妙证法？

受好奇心的驱使，我便试着证明书中的这个结论。

不过正式开始前，还得明确一下命题：对于任意的正整数a和b（a不等于b），10的a次幂和2的b次幂不相等。

为了证明上面的命题，需要先证明一条引理：对于任意的正整数a，5的a次幂是一个奇数。可以用数学归纳法来证明。

首先验证a为1时命题成立。由于5的1次幂为5，并且5是一个奇数，所以命题成立；

接着，假设a为k时命题成立，将5的k次幂写成2n+1的形式，当a为k+1时，

5的k次幂的变换.png

因此，5的k次幂也是一个奇数。因此，该命题对于任意的正整数a都是成立的。

同理可证：对于任意的正整数a，2的a次幂是偶数。

假设存在正整数a和b（b大于a），使得10的a次幂与2的b次幂相等

待证明的等式.png

将10分解为2和5的积，再两边同时除以2的a次幂

变换为存在矛盾的形式.png

等式的左边和右边分别是5的正整数次幂与2的正整数次幂。由前一节的引理可知，左边是奇数，右边是偶数，两者不可能相等，与上述等式产生矛盾。因此，原假设不成立，命题得证。

我最开始的想法很复杂。虽然也是采用反证法，但我将等式做了如下变换

复杂的方法，基于无理数.png

然后试图证明以2为底的10的对数不是有理数，和等式右边不相等。不过这个方法于我而言太难了，便没有继续尝试下去。