[搜索算法系列] —— 深度优先搜索

搜索本质上也是对解空间的枚举，本文介绍搜索算法中的深度优先搜索（图论）。

全排列问题

给定一个没有重复数字的序列，返回其所有可能的全排列。例如对于数列[1, 2, 3]其全排列为[[1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1]]。

我们可以使用n层循环，每一层循环内确定一位数字，在最内层循环内判断该排列是否符合要求，例如对于数列nums = [1, 2, 3]，可以写出如下代码。

for i in nums:
    for j in nums:
        for k in nums:
            if i != j and j != k and i != k:
                print i, j, k

这道题目分析到这里，其实和我的第一篇文章的问题很有很大相似的地方，但不同的是在于百鸡百钱问题的自变量个数是固定的，即循环层数是固定的。

上述代码中我们试图通过每一层循环来确定一个数值，但这段代码只适用于len(nums) == 3的情况，但是如果nums长度为4，5，或更高呢？我们无法动态生成n层循环，除非是用程序编写程序，递归为我们巧妙地解决了这个问题。

在递归中，我们则通过每一层函数的嵌套来确定一个数值，并且我们只需给出顶层的实现就够了。

于是我们得出了下面的代码（涉及python中list与set的使用）。

def solution(nums, status):
    if set(nums) == set(status):
        print status
    for x in nums:
        solution(nums, status+[x])

上述代码中，status表示当前函数层次的状态，即一个排列结果，该递归函数可以理解为一个数学表达式：solution = for + solution，那么该solution函数就会被展开为下面的样子。

for ... in range(...):
    for ... in range(...):
        ...
        if ... : print ... # 只有在第n层，条件才会成立

这就和我们最开始给出的代码看上去差不多了。但是现在代码虽然是有限的，可实际展开的时候依旧是无穷无尽的，这就需要我们为solution函数加上一个终止条件，也称递归出口。

如果把递归的过程想象成包子馅的包子，那么如果没有递归出口，这个包子将会变成馒头。

那么递归出口我们如何去定义呢？

通过题意不难推出当对于当前层，若当前排列结果status长度大于nums数列长度，即可终止递归。

于是可得出正确代码如下。

def solution(nums, status):
    if len(status) > len(nums):
        return
    if set(nums) == set(status):
        print status
    for x in nums:
        solution(nums, status+[x])

solution([1,2,3], [])
# [[1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1]]

这段代码虽然可以正确运行，但我们可以让他更加美观。最终代码如下。

这一次，我们将递归出口定义在进入递归函数前，并且将中间状态记录在了ans数组中。

def solution(nums, status, ans):
    if len(nums) == len(status):
        ans.append(status)
    for x in nums:
        if x not in status:
            solution(nums, status+[x], ans)
    return ans

print solution([1,2,3], [], [])
# [[1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1]]

如果在solution的开始输出status的值，我们会得到如下的输出结果。

[1]
    [1, 2]
        [1, 2, 3]
    [1, 3]
        [1, 3, 2]
[2]
    [2, 1]
        [2, 1, 3]
    [2, 3]
        [2, 3, 1]
[3]
    [3, 1]
        [3, 1, 2]
    [3, 2]
        [3, 2, 1]

观察程序的输出与下面的图片，体会该迭代方法被称作深度优先搜索的原因。

本文示例题目与leecode 46.全排列一致，读者可自行尝试提交，验证自己代码的正确性。