数据结构-树和二叉树-基本概念

树和二叉树基本概念

• 树是由一个集合以及在该集合上定义的一种关系构成的
• 集合中的元素称为树的结点，所定义的关系称为父子关系
• 父子关系在树的结点之间建立了一个层次结构
• 树的结点包含一个数据元素和指向其子树的若干分支
• 根结点具有特殊地位，简称为根

树（tree）是n（n>=0）个结点的有限集

• 或者是一个空树（n=0），空树中不包含任何结点
• 或者是一棵非空树（n>0），此时有且仅有一个称为根的特定的结点

结点的度与树的度

• 结点拥有的子树的数目称为结点的度（Degree）
• 度为0的结点称为叶子（leaf）结点或终端结点
• 度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根之外的分支结点也称为内部结点
• 树内各结点的度的最大值称为树的度

结点的层次和树的深度

• 结点的层次（level）从根开始定义，根结点层次为1，其子树层次为2
• 树中的最大层次数称为数的深度（Depth）或高度

父亲、儿子、兄弟

• 父亲（parent）：一个结点的直接前驱结点
• 儿子（child）：一个结点的直接后继结点
• 兄弟（sibling）：同一个父亲结点的其他结点

祖先、子孙、堂兄弟

• 祖先：从根到该结点的路径上的所有结点
• 子孙：以某结点为根的树中的任一结点都是该结点的子孙
• 堂兄弟：父亲结点在同一层次的结点

有序树、m叉树、森林

• 有序树：树中结点的各子树从左至右看成有顺序的（若不特指说明，一般讨论的都是有序树）
• 无序树：不考虑子树的顺序
• m叉树：树中所有结点的最大度为m的有序树
• 森林：m（m>=0）棵互不相交的树的集合

二叉树

• 每个结点的度均不超过2的有序树，称为二叉树（binary tree）
• 二叉树或者是一棵空树，或者是由一个根结点和两个互不相交的左子树和右子树组成的非空树

满二叉树

• 高度为k并且有$2^k+1$ 个结点的二叉树
• 满二叉树中每层都达到最大数，即每层结点都是满的

完全二叉树

• 在一棵满二叉树中，从最下层最右侧起，去掉相邻的若干叶子节点，得到的即为完全二叉树
• 满二叉树一定是完全二叉树，而完全二叉树不一定是满二叉树

二叉树的性质

1. 在二叉树的第i层上，最多有$2^(n-1)$个结点（根是第1层）
2. 高度为h的二叉数至多有$2^h$-1个结点
3. 对于任意一棵二叉树，叶子节点数 = 度为2的结点数 + 1
4. 有n个结点的完全二叉树的高度为$log_2^n$+1，其中$log_2^n$是向下取整
5. 含有n>=1个结点的二叉树高度至多为n-1；高度至少为$log_2^n$+1，其中$log_2^n$是向下取整

6. 如果对一棵含有n个结点的完全二叉树的结点进行编号，则对任意结点i

   1. 如果i=1，则结点i是二叉树的根；如果i>1，则其双亲结点为i/2向下取整
   2. 如果2i>n,则结点i无左孩子；否则其左孩子为2i
   3. 如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子为2i+1

二叉树的存储结构

二叉树的存储结构有两种：顺序存储结构和链式存储结构

顺序存储结构

• 对于满二叉树和完全二叉树来说，可以将其存储在一组连续的存储单元中
• 用一维数组来实现顺序存储结构时，将二叉树第i个结点存放到数组中第i个分量中
• 根据二叉树的性质，可以得到结点i的父结点、左右孩子结点分别存放在i/2、2i、2i+1分量中
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• 这种存储方式对于满二叉树和完全二叉树是非常合适并且高效方便的，因为满二叉树和完全二叉树采用顺序存储结构即不浪费空间，也能根据公式很快确定结点之间的关系
• 但是对于一般的二叉树而言，必须用“虚结点”将一棵二叉树补成一棵完全二叉树来存储，否则无法确定结点之间的前驱后继关系，但是这样就会造成空间的浪费
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链式存储结构

• 设计不同的节点结构可构成不同的链式存储结构
• 在二叉树中，每个结点都有两个孩子，则可以设计成每个结点至少包含3个域：数据域、左孩子域、右孩子域
• 利用此结构得到的二叉树存储结构称为二叉链表。数据域存放数据元素，左孩子域存放指向左孩子结点的指针，右孩子域存放指向右孩子的指针
• 为了方便找到父结点，可以在上述结点结构中添加一个指针域，指向结点的父结点，采用此结构得到的存储结构称为三叉链表
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