「扫盲」数据结构 - 堆入门

什么是堆

• 堆是一颗【完全二叉树】
• 堆的所有【根节点】“大于”【子节点】

  这里的大于是可以定义的。

<img src="https://gitee.com/xiaoxiunique/picgo-image/raw/master/atips/image-20200318211957067.png" alt="image-20200318211957067" style="zoom:50%;" />

​ 上图所示，都是满足堆上方的性质，一颗完全二叉树，所有的根节点大于子节点

​ 上方展示的为最大堆（相应的也可以定义最小堆）

• 使用数组表示

  <img src="https://gitee.com/xiaoxiunique/picgo-image/raw/master/atips/image-20200318212734956.png" alt="image-20200318212734956" style="zoom:50%;" />

  因为堆满足完全二叉树的定义，所以堆可以使用数组来表示【上图所示】。

  由上图得在 index 位置上的节点可以推倒出如下公式 parent(i) = i / 2 left child (i) = 2 * i right child (i) = 2 * i + 1

  但是在上图中，其实是浪费了数组的零号位置，如果元素从0号位置排将会是下面的结构

  <img src="https://gitee.com/xiaoxiunique/picgo-image/raw/master/atips/image-20200318213435336.png" alt="image-20200318213435336" style="zoom:50%;" />

  由上图可以推倒公式为：

  parent(i) = (i - 1) / 2 left child (i) = 2 * i + 1 right child (i) = 2 * i + 2

堆中的常用操作

• Sift Up （向堆中添加元素）

  上浮，因为堆底层实现为数组，所以我们在添加元素的时候是直接向数组的末端添加元素，这样就始终保证堆是一个完全二叉树，但是我们需要维持二叉树第二个性质，根节点元素大于子节点，所以我们需要 sift up 操作

  假设有如下堆结构：

  <img src="https://gitee.com/xiaoxiunique/picgo-image/raw/master/atips/image-20200318214332416.png" alt="image-20200318214332416" style="zoom:50%;" />

  假设我们现在需要添加的元素为 52，现在元素的位置为 arr[arr.length - 1]，但是这样就违反了堆的结构，因为 52 > 16，sift up 就是如果当前元素大于根节点元素的值那么就交换两个元素，【迭代】执行，直到满足子节点小于根节点。

  这时我们就需要交换 52 和 16号元素的值

  <img src="https://gitee.com/xiaoxiunique/picgo-image/raw/master/atips/image-20200318214919048.png" alt="image-20200318214919048" style="zoom:50%;" />

  交换完成后是这个样子

  <img src="https://gitee.com/xiaoxiunique/picgo-image/raw/master/atips/image-20200318215227768.png" alt="image-20200318215227768" style="zoom:50%;" />

  但是这时候又会发现还是不满足堆结构，因为 52 > 41，所以 52 和 41 还需要交换

  <img src="https://gitee.com/xiaoxiunique/picgo-image/raw/master/atips/image-20200318215332914.png" alt="image-20200318215332914" style="zoom:50%;" />

  交换后才又满足堆的结构

  <img src="https://gitee.com/xiaoxiunique/picgo-image/raw/master/atips/image-20200318215450242.png" alt="image-20200318215450242" style="zoom:50%;" />

  上面 52 号元素移动的整个过程，称之为 sift up 上浮

  <img src="https://gitee.com/xiaoxiunique/picgo-image/raw/master/atips/heap_sift_up.png" style="zoom:80%;" />

• Sift Down （取出堆中的最大元素）

  由堆的特性所得，根节点的元素为堆中的最大元素，所以我们只需要取出根节点即可。

  <img src="https://gitee.com/xiaoxiunique/picgo-image/raw/master/atips/image-20200318220445853.png" alt="image-20200318220445853" style="zoom:50%;" />

  但是如果直接取出根节点就会导致将原来的堆切割为两个堆，后续在合并的时候就会变的异常麻烦，所以我们这里转变一下思路，直接将末尾的元素 arr[arr.length - 1] 16 与 根节点62 交换位置，而后再将其处理为堆结构这样会简单很多

  <img src="https://gitee.com/xiaoxiunique/picgo-image/raw/master/atips/image-20200318220722116.png" alt="image-20200318220722116" style="zoom:50%;" />

  如上图所示，直接将末尾的元素替换掉头结点。此时就违反了堆结构，我们就需要进行 Sift Down 的操作。

  当前元素与它的左右孩子进行对比，与左右孩子中较大的孩子进行交换，迭代进行，最终便可完成 Sift Down

  <img src="https://gitee.com/xiaoxiunique/picgo-image/raw/master/atips/image-20200318221110695.png" alt="image-20200318221110695" style="zoom:50%;" />

  第一次交换 16 和 50 ，因为 52 > 30，交换后的效果为

  <img src="https://gitee.com/xiaoxiunique/picgo-image/raw/master/atips/image-20200318221300114.png" alt="image-20200318221300114" style="zoom:50%;" />

  第二次 交换 16 和 42，因为 42 > 16

  <img src="https://gitee.com/xiaoxiunique/picgo-image/raw/master/atips/image-20200318221601439.png" alt="image-20200318221601439" style="zoom:50%;" />

  经过前面的两次交换后，现在就满足最大堆的性质了。

  上面两次交换的过程就称为 Sift Down

  <img src="https://gitee.com/xiaoxiunique/picgo-image/raw/master/atips/heap_sift_down.png" style="zoom:80%;" />

• replace
• heapity

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