二进制下为什么能用补码来计算减法？

二进制下为什么能用补码来计算减法？

学习目标

1. 计算机中是怎么去描述一个"数"的？（本文有答案）
2. 补码到底是什么？为什么要发明它？为什么用补码就可以计算减法？获得一个原码的补码的原理是什么？（本文有答案，重点）
3. 怎么知道一个占n比特位的数，它所能表示的整数范围是多少？（本文没细讲）
4. 什么是浮点数？怎么用二进制表示浮点数？什么是浮点数的精度？（下一讲）

对比一个时钟，来看二进制补码

数据应该怎么在计算机内存储？

• 在计算机的世界里，不论任何数据形式，只能用二进制表示和计算，因为作为开关的电信号仅有两种状态。

  二进制，简单来说我认为是一种计数规则，相比于我们从小学到大的十进制，二进制就是逢二进一。

  举例，5₍₁₀₎ = 101₍₂₎ ，5在十进制数当中算作一位，因为他只有一个"个位"，而101₍₂₎ 这个数字在二进制中算作三位，每一位都以电信号的方式存储在计算机的某个半导体内。

  我们这里的"位"，就叫做1一个比特位(bit)，这很重要，它直接影响了数的表示范围。

• 存储信息的半导体的个数是有限的，所以用来表示数的比特位也是有限的，我们不能随心所欲的无限扩张它，我们要尽可能的增大表示范围，又要控制数据的存储空间。

  举例，在Java中，一个int类型占据了4个字节(Byte)，再加上我偷偷告诉你1个字节等于8个比特，所以Java里int占32位：

  在脑海里的样子：
  0000, 0000, 0000, 0000, 0000, 0000, 0000, 0000

  什么？不看虚的？那你瞧一瞧下面这张图！🙄

  

  这，就是标题里面问题1的答案 -- 数据以一个个的电容信号存储在计算机硬件里面的某些半导体中，你仅可以想象它的样子（如上面的32个0） 。

• 我在这里不想描述进制间是怎么转换的，这不是我们今天讨论的重点，感兴趣的话可以自行搜索。

整数的二进制表示和补码

• 整数又分为正整数，负整数，零。如果想要简单的来表示无符号整数，定义一个正整数占4个比特位的话，那么

  6₍₁₀₎ = 0 2³ + 1 2² + 1 2¹ + 0 2⁰ = 0110₍₂₎

  在这种情况下，我们无法表示出负数，那么用这样的方法表示多少个非负整数？

  也就是 0000₍₂₎ \~ 1111₍₂₎ 也就是 [0 \~ 2³+2²+2¹+2⁰] = [0 \~ 15] 也就是 2⁴个。

  可我就是想要表示-6怎么办呢？🤓

  

  我们只能sacrifice掉一位男...额不对，是牺牲掉1个比特位。

  也就是说我们要拿出1个比特位来做符号位，0表示正，1表示负

  那么，同样一个+6：

  6₍₁₀₎ = 1 2² + 1 2¹ + 0 * 2⁰ = 0110₍₂₎

  一定要注意这次的计算方式和上一次的区别，少了一次对2³的计算！是因为这次存储数值的总共就三位，还有一位用作了符号位：

  符号位    数值位
    
    0       110
  

  自然而然 ，我们会想到用 1110₍₂₎ 来表示-6的二进制（我一定要先声明，这是一种错误🙅‍♂️的做法，请往下看完）

  这里出现了一个问题，如果我想让你计算 1-6=？

  /** 计算机没办法做减法，只能通过 1+(-6) 来实现1-6 **/
     0 0 0 1
   + 1 1 1 0
     1 1 1 1
  

你会发现结果是 -7， 这显然不对。（原因是第一位是用来表示正或负号，不能参与计算）

• 为了解决这个问题，人们想出了补码的概念。

  当负数用二进制补码表示后，符号位能与有效值部分一起参加运算，减法运算可以转换为加法运算并且结果正确。

  原理呢？别急，看看下面这个家伙

  

  这是一个时钟，12进制。我们运用生活中的经验来回答以下几个问题：

  Q1.现在是8点，问5小时后是几点？
  8 + 5 = 13 
  但是时钟上没有13点，所以你看到的是1点
  
  Q2.现在是8点，问5小时前是几点？
  8 - 5 = 3
  3点！可是请问用加法怎么解决这个问题呢？

  这里我们可以用8+7来得到3点

  把8-5看作是时针从8点向前拨动了5个小时，回到了3的位置，但是他也等同于把时针从8点向后拨动7个小时，到达了3的位置上。

  然后你心里面一定会有疑问🤔️

  小学数学告诉我们8-5=3，可是你来给我解释解释8+7为什么等于3！

  $$\begin{cases} \text{-5 + 0 = -5}\\ \text{0 = 12} \ \ \text{在时钟只有一个的情况下（只有1个比特位时）0 = 12 （可以看下时钟，0点也是12点，对吧？）} \end{cases}$$

  所以 -5 + 12 = 7 = -5

  可以看到，这里的-5等于了7，我们把12进制中的7和-5就称作是一组互补数，用这样方法，可以做到加法代替减法，让计算机把符号位带入还可以正常运算

  如果你没看懂，那你听听我的另一种解释：8+7=15，但是时钟是一个12进制的工具，所以十进制的15₍₁₀₎ 的实际表达是12进制的13₍₁₂₎ ，但是由于我们只有一个时钟，就相当于我们只有一个比特位来存储13₍₁₂₎这个数据，那么第二位"1"就溢出了，这个"1"相当于是被一个黑洞给吞掉了，我们根本没有办法去找回来，所以最后只剩下一个12进制的3₍₁₂₎，所以最后8+7=3！

• 那么，在二进制中，该怎么计算出补码呢？

  正数和0的补码就是该二进制本身，也就是原码。负数的补码则是将其对应正数的原码按位取反得到反码再加1。

  原理呢！

  我们假定现在用2个比特位来表示1个数，依葫芦画瓢，列出下面的不等式组：

  $$\begin{cases} \text{原码 + 补码 = 00}\\ \text{00 = 100} \ \ \text{只有2个比特位时} \end{cases}$$

  补码 = 100₍₂₎ - 原码 = （11₍₂₎ + 01₍₂₎ ）- 原码 = 11₍₂₎ - 原码 + 01₍₂₎

  而11₍₂₎ - 原码是什么？仔细想一下，这不就是相当于是原码取反后的结果吗！

  写到这里，我想你终于可以弄懂问题2了吧？

小数的二进制表示

• 小数可以拆成整数部分和小数部分，整数部分的表示方法在上面，小数部分应该怎么做呢？

  举例，十进制123.45表示成二进制如下图：

  

  具体的转换方式是：

  • 整数部分采用十进制转二进制方法进行
  • 小数部分乘以2，然后取整数部分。不断重复该操作直到小数部分为0，或达到指定的精度

• 你想要的只是岁月静好。但是呢，不是所有的小数都能转换有限位数的二进制小数。例如10进制0.2的二进制：

  0.2 x 2 = 0.4 0
  0.4 x 2 = 0.8 0
  0.8 x 2 = 1.6 1
  0.6 x 2 = 1.2 1
  0.2 x 2 = 0.4 0
  0.4 x 2 = 0.8 0
  0.8 x 2 = 1.6 1
  0.6 x 2 = 1.2 1
  ……不光岁月静好，我还送你天荒地老

  这是为什么呢？

  抛开数学概念，十进制中1的一半是0.5，二进制中1的一半是0.1；十进制中自然可以十等分形成小数，所有不能十等分的都是无限循环，同理二进制中只能二等分，所有不能二等分的自然都是无限循环。正如切蛋糕，二进制就像一把一次只能切一半的刀。

• 讲了这么久，该表示表示了吧？

  所以，理论上，我们可以这样存储小数（以123.5为例）：

  符号位       整数位        小数位
    
    0        0111,1011    1000,0000

  但是，这种方法是不被采用的，实质上，被用来表示小数的东西叫做浮点数。

浮点数的二进制表示

• 敬请期待

本文引用了

• 为什么十进制小数转换成二进制有可能无限循环？ 卫知 的回答
• 浮点数在计算机中是如何存储的？

注

• V_(base): 下标base代表进制数，V则代表了在该进制下的值表示。