我所知道的十大常用算法之普里姆算法（最小生成树）

前言需求

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今天我们学习的是普里姆算法，我们还是从一个场景里引入看看

有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个村庄连通

1.各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里

2.问如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

我们的思路就是尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证总里程数最少

一、什么是普里姆算法

普利姆(Prim)算法求：最小生成树就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图

二、通过示例认识普里姆算法

其实修路的问题本质就是最小生成树的问题

先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称MST

那么什么是最小生成树呢？其实就是给定一个带权的无向连通图，如何选取一棵生成树，使树上所有边上权的总和为最小。这叫最小生成树

那么最小生成树有什么特点呢？

1.若有N个顶点，一定要至少有N-1条边
2.图要包含全部顶点
3.N-1条边要都在图中

那么求最小生成树的算法主要有普里姆算法和克鲁斯卡尔算法

普里姆算法思路分析

1.设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合

2.若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u]=1

3.若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路。

将顶点vj加入集合U中，将边（ui,vj）加入集合D中，标记visited[vj]=1

4.重复步骤②，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边

普里姆算法图解思路分析

1.假如从A顶点开始处理，将A放入集合中，并可连接到其他顶点有C、G、B

2.此时这三条边的最小权重值是A-G 为2，于是我们G放入集合中，《A，G》

3.此时这五条边的最小权重值是B-B 为3，于是我们B放入集合中，《A，G，B》

4.此时这四条边的最小权重值是G-E 为4，于是我们E放入集合中，《A，G，B，E》

此时这五条边的最小权重值是E-F 为5，以此类推加入到集合中....

最后的集合结果应该是<A，G，B，E，F，D，C>

普里姆代码思路分析

1.我们需要一个存放顶点的char数组，以及顶点的边数
2.我们需要使用邻接矩阵来表示顶点之间的连接情况与权重值
3.我们需要生成minTree树
4.我们需要创建图

普里姆算法代码实践

1.使用邻接矩阵来表示图所之间连接关系与权重值

//使用邻接矩阵描述权重值表示0 代表无
int[][] weight = new int[][]{
        {0,5,7,0,0,0,2},
        {5,0,0,9,0,0,3},
        {7,0,0,0,8,0,0},
        {0,9,0,0,0,4,0},
        {0,0,8,0,0,5,4},
        {0,0,0,4,5,0,6},
        {2,3,0,0,4,6,0}
}; 

2.需要一个存放顶点的char数组，以及顶点的边数

//char[] 数组存放顶点个数
char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};

int verxs = data.length;

3.创建图对象

class MGraph{

    int verxs;//表示图的节点数
    char[] data;//存放结点数据
    int[][] weight;//存放边

    public MGraph(int verxs) {
        this.verxs = verxs;
        data = new char[verxs];
        weight = new int[verxs][verxs];
    }
}

4.我们需要将创建的这些值与数组、赋值给到图对象，并创建输出图的方法

class MinTree{

    //创建图的邻接矩阵
    public void createGraph(MGraph graph,int verxs,char[] data,int[][] weight){

        for ( int i = 0 ; i<verxs;i++){
            //将char数组里的值赋值给图
            graph.data[i] = data[i];
            for (int j = 0; j<verxs;j++ ){
                //将weight里的值赋值给图
                graph.weight[i][j] = weight[i][j];
            }
        }
    }

    //打印图的信息
    public void showGraph(MGraph graph){
        for ( int[] link : graph.weight){
            System.out.println(Arrays.toString(link));
        }
    }
}

接下来我们使用demo 完成图的创建与输出

public static void main(String[] args) {

        //char[] 数组存放顶点个数
        char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};

        //顶点之间的边
        int verxs = data.length;

        //使用邻接矩阵描述权重值表示0 代表无
        int[][] weight = new int[][]{
                {0,5,7,0,0,0,2},
                {5,0,0,9,0,0,3},
                {7,0,0,0,8,0,0},
                {0,9,0,0,0,4,0},
                {0,0,8,0,0,5,4},
                {0,0,0,4,5,0,6},
                {2,3,0,0,4,6,0}
        };

        MGraph graph = new MGraph(verxs);
        MinTree minTree = new MinTree();
        minTree.createGraph(graph,verxs,data,weight);
        minTree.showGraph(graph);
}

根据普里姆算法思路编写算法代码

1.我们的思路是先找到一个顶点开始，不断找相邻顶点，比如说A开始

找相邻顶点的条件是：A已访问，其他顶点为未访问

2.判断A-其他顶点的weight，是否是最小的

为了方便找到最小的，我们这里使用一个很大的数，来代替刚刚的：0

public void prim(MGraph graph,int v){
        //使用数组标注节点是否被访问过
        int[] visited = new int[graph.verxs];

        for ( int i=0; i<visited.length; i++){
            visited[i] = 0;
        }

        //将当前节点标注为已访问
        visited[v] = 1;

        int h1 = -1;
        int h2 = -1;
        int minWeight = 10000;
        for(int k = 1; k < graph.verxs; k++) {
            for(int i = 0; i < graph.verxs; i++) {
                for(int j = 0; j< graph.verxs;j++) {
                    if(visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
                        minWeight = graph.weight[i][j];
                        h1 = i;
                        h2 = j;
                    }
                }
            }
            System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + "> 权值:" + minWeight);
            visited[h2] = 1;
            minWeight = 10000;
        }
    }

即将上图所至的0 --> 10000

public static void main(String[] args) {

    //char[] 数组存放顶点个数
    char[] data = new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};

    //顶点之间的边
    int verxs = data.length;

    //使用邻接矩阵描述权重值表示0 代表无
    int[][] weight = new int[][]{
            {10000,5,7,10000,10000,10000,2},
            {5,10000,10000,9,10000,10000,3},
            {7,10000,10000,10000,8,10000,10000},
            {10000,9,10000,10000,10000,4,10000},
            {10000,10000,8,10000,10000,5,4},
            {10000,10000,10000,4,5,10000,6},
            {2,3,10000,10000,4,6,10000}
    };

    MGraph graph = new MGraph(verxs);
    MinTree minTree = new MinTree();
    minTree.createGraph(graph,verxs,data,weight);
    minTree.showGraph(graph);
    minTree.prim(graph,0);
}

运行结果如下：
边<A,G> 权值:2
边<G,B> 权值:3
边<G,E> 权值:4
边<E,F> 权值:5
边<F,D> 权值:4
边<A,C> 权值:7

求最小生成树的相关文章算法

• 克鲁斯尔算法：最小生成树

参考资料

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• 尚硅谷：数据结构与算法（韩顺平老师）：普里姆算法