分而治之, 逐个击破

什么是分治算法

将手头的问题分成较小的子问题，然后分别解决每个子问题。如果子问题没办法解决，将子问题划分为更小的子问题时，到达无法划分的阶段时得出结果。最后合并所有子问题的解决方案，以获得原始问题的解决方案。

1. 分割，将问题分割为较小的子问题，通常采用递归的形式，直到没有子问题可以进一步分割为止。
2. 解决，当问题无法分割，此时应该已经得到了子问题的答案。
3. 合并，解决了较小的子问题后，此阶段将它们递归组合，得到原始问题的答案。

分治算法可以解决什么问题？

1. 归并排序
2. 快速排序
3. 二分查找

等等

满足使用分治算法的条件

使用分治算法满足的条件：

1. 原问题可以分解为若干个规模较小的子问题
2. 子问题互相独立
3. 子问题的解合并处理后可得到原问题的解

🎉😄 53.最大子序和

这道题目更简单方便的解答应该是使用动态规划

思路

将原问题分解为3个子问题，最大子序和要么在数组的左边，要么在数组的右边，要么横跨数组中间。，我们通过递归拆解子问题。

当我们把问题拆解成，数组的长度只有1时，我们就可以得到子问题的解。因为此时最大的子序和就是数组中元素的值。我们只需要返回，数组的左边，数组的右边，或者横跨数组中间的最大值即可，这些子问题的解答，最终会组合成原问题的解。

举一个例子🌰, 求[4, -3, 5, -2]的最大子序和。下图是分解的过程

把思路变为代码时，会有一个问题，左右两边可以通过递归获取最大值，如何获取中间的最大值呢？下面是方法的介绍

先计算左边序列里面的包含最右边元素的子序列的最大值，也就是从左边序列的最右边元素向左一个一个累加起来，找出累加过程中每次累加的最大值，就是左边序列的最大值，按照同样的方法，找出右边序列的最大值，左右两边的最大值相加，就是包含这两个元素的子序列的最大值。

解答

/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var maxSubArray = function(nums) {

    /**
     * 求跨越中间的最大值
     */
    const getMiddMax = (left, right) => {
        let leftMax = Number.MIN_SAFE_INTEGER
        let rightMax = Number.MIN_SAFE_INTEGER
        let leftSum = 0
        let rightSum = 0
        for (let i = left.length - 1; i >= 0; i--) {
            leftSum += left[i]
            leftMax = Math.max(leftSum, leftMax)
        }
        for (let i = 0; i < right.length; i++) {
            rightSum += right[i]
            rightMax = Math.max(rightSum, rightMax)
        }
        return rightMax + leftMax
    }

    const divideAndConquer = (arr) => {
        if (arr.length <= 1) {
            // 得到了最小子问题的解答
            return arr.length === 1 ? arr[0] : Number.MIN_SAFE_INTEGER;
        }
        // 继续拆解子问题
        const middIndex = Math.floor(arr.length / 2)
        const left = arr.slice(0, middIndex)
        const right = arr.slice(middIndex)
        const middMax = getMiddMax(left, right)
        const leftMax = divideAndConquer(left)
        const rightMax = divideAndConquer(right)
        return Math.max(middMax, leftMax, rightMax)
    } 

    return divideAndConquer(nums)
};

其他题解

这些使用分治方法的解答很多不是最优解，代码还有很多可以优化的地方，能力有限还请见谅

🎉😄 215.数组中的第K个最大元素

这道题目，之前我使用的是利用小顶堆，在不排序数组的情况下，获取第K个最大元素

思路

本题的解答的思路有很多种。最简单的是使用语言内置的排序，将数组排序后返回第K个最大元素（但是这样刷题也没有任何意义）。
其他的思路是可以利用堆这种数据结构，最小堆，最大堆都可以。因为堆的顶部，永远是最大值或者最小值。

我们重点说一下分治的思路，有点类似快排，但是我们不会像快排一样对整个数组进行排序。只对部分内容进行排序。

取数组的第一个值为基准值，大于它的放在左边，小于它的放在右边。我们的目标是获取数组中的第K个最大元素，如果左边的数组的长度大于K，说明K肯定在左边的数组。如果K的长度大于左边的数组，说明K肯定在右边的数组。

在下一次迭代中，我们可以只处理K所存在的那半边的数组。当数组的长度等于1时就是K了。过程分解如下

解答

/**
 * @param {number[]} nums
 * @param {number} k
 * @return {number}
 */
var findKthLargest = function(nums, k) {
    let result = null

    const divideAndConquer = (arr, base) => {

        if (arr.length === 1) {
            result = arr[0]
            return
        }

        const referenceValue = arr[0]
        const min = []
        const max = []
        for (let i = 1; i < arr.length; i++) {
            if (arr[i] > referenceValue) {
                max.push(arr[i])
            } else {
                min.push(arr[i])
            }
        }
        max.push(referenceValue)
        const maxLen = max.length + base;

        if (maxLen >= k && max.length) {
            // 说明k存在在max数组中
            divideAndConquer(max, base)
        } else if (maxLen < k && min.length) {
            // 说明k存在在min数组中
            divideAndConquer(min, maxLen)
        }
    }

    divideAndConquer(nums, 0)

    return result
};

🎉😄 169.多数元素

思路

对半拆分数组。如果多数元素的长度大于数组的1/2。那么多数的元素，肯定是拆分出来的两个数组，中的至少其中一个数组中的众数（如果多数元素主要集中在数组的中间部分，则拆分出来的两个数组的众数都是多数元素）。

使用对半拆分的思路，分解子问题：

1. 当子问题（数组）被分解为长度为1时，那么子问题的解（子数组的众数）就是数组中的唯一值
2. 当子问题（数组）被分解为长度为2时，如果数组中两个元素相等那么众数就是该元素。如果数组中两个元素不相等，可以看作子问题没有解。

• 当左边数组的没有解，右边数组有解时，数组的多数元素就是右边数组的众数
• 当左边数组的有解，右边数组没有解时，数组的多数元素就是左边数组的众数
• 当左边数组的有解，右边数组有解，并且解相同时，数组的多数元素就是两边数组相同的解
• 当左边数组的有解，右边数组有解，并且解不相同时，此时我们需要遍历数组计数，得到那一个解才是真正的众数。

下面是一个例子，展示了拆解子问题的过程：

解答

/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var majorityElement = function(nums) {

    const counter = (arr, target) => {
        let count = 0
        for (let i = 0; i < arr.length; i++) {
            if (arr[i] === target) {
                count += 1
            }
        }
        return count
    }

    const divideAndConquer = (arr) => {
        if (arr.length === 1) {
            return arr[0]
        }

        if (arr.length === 2) {
            if (arr[0] === arr[1]) {
                return arr[0]
            } else {
                return null
            }
        }

        const middIndex = Math.floor(arr.length / 2)
        const left = arr.slice(0, middIndex)
        const right = arr.slice(middIndex)
        const leftMode = divideAndConquer(left)
        const rightMode = divideAndConquer(right)
        
        if (leftMode === null && rightMode !== null) {
            return rightMode
        } else if (leftMode !== null && rightMode === null) {
            return leftMode
        } else if (leftMode === null && rightMode === null) {
            return null
        } else {
            // 需要判断下记数
            let counterLeft = counter(arr, leftMode)
            let counterRight = counter(arr, rightMode)
            return counterLeft > counterRight ? leftMode : rightMode;
        }
    }

    return divideAndConquer(nums)
};

😄 241.为运算表达式设计优先级

思路

本题在最后的合并子问题的解时。不像其他分治算法的题目，把子问题的解简单的累加，或者取最大值。本题需要对子问题进行排列组合，取得原始问题的解。

遍历字符串，遇到运算符就将字符串分割成两部分，然后为分割出来的两部分添加小括号。分解子问题，直到被风格出来的部分不包含运算符为止。然后把子问题进行排列组合，得到最终的解答。

下面是分解的过程:

解答

/**
 * @param {string} input
 * @return {number[]}
 */
var diffWaysToCompute = function(input) {
    const result = []
    const operatorHash = {
        '+': true,
        '-': true,
        '*': true,
    }

    // 获取排列组合
    const getPermutations = (a, b, operator) => {
        const hash = {}
        const result = []
        for (let i = 0; i < a.length; i++) {
            for (let j = 0; j < b.length; j++) {
                const key = `((${a[i]})${operator}(${b[j]}))`
                if (!hash[key]) {
                    result.push(key)
                }
            }
        }
        return result
    }

    const divideAndConquer = (str, res) => {
        for (let i = 0; i < str.length; i++) {
            const operator = str[i]
            if (operatorHash[operator]) {
                const left = str.slice(0, i)
                const right = str.slice(i + 1)
                const leftRes = []
                const rightRes = []
                if (isNaN(Number(left))) {
                    divideAndConquer(left, leftRes)
                } else {
                    leftRes.push(left)
                }
                if (isNaN(Number(right))) {
                    divideAndConquer(right, rightRes)
                } else {
                    rightRes.push(right)
                }
                res.push(...getPermutations(leftRes, rightRes, operator))
            }
        }
    }

    divideAndConquer(input, result)

    // 如果是纯数字的情况
    if (result.length === 0) {
        return [Number(input)]
    }

    return result.map(item => eval(item));
};

😄 395.至少有K个重复字符的最长子串

思路

本题思路，先找到不可能的字符（在字符串中，少于K次的字符串），用它们分割数组（因为如果包含它们子串就不可能符合要求）。

将分解出的字符串代入下一次迭代。如果在迭代时发现，不存在不可能的字符的字符，这个字符串就是我们的解。结果取解中长度最大的即可。

下面是分解过程：

解答

/**
 * @param {string} s
 * @param {number} k
 * @return {number}
 */
var longestSubstring = function(s, k) {
    if (s.length < k) {
        return 0
    }

    let result = Number.MIN_SAFE_INTEGER;

    const getSplitDots = (str) => {
        let splitDots = []
        const hash = new Map()
        for (let i = 0; i < str.length; i++) {
            const key = str[i]
            if (!hash.has(key)) {
                hash.set(key, [i])
            } else {
                const val = hash.get(key)
                hash.set(key, [...val, i])
            }
        }
        const entries = hash.entries()   
        for (let [key, value] of entries) {
            if (value.length < k) {
                splitDots = [...splitDots, key]
            }
        }
        return splitDots
    }

    const divideAndConquer = (str) => {
        // 切割的点
        let splitDots = getSplitDots(str)
        if (splitDots.length === 0) {
            result = Math.max(result, str.length);
        } else {
            const arr = str.split(splitDots[0])
            for (let i = 0; i < arr.length; i++) {
                divideAndConquer(arr[i])
            }
        }
    }

    divideAndConquer(s)

    return result;
};

😄 973.最接近原点的K个点

欧几里得距离的公式

思路

和215题类似，类似快排但是我们不会对全部的内容进行排序。取数组的第一个值为基准值，求出该点的欧几里得距离，以该店的欧几里得距离为基准值，大于基准值放到右边的数组。小于基准值的放到左边的数组。

• 如果K等于左边数组的长度，说明左边的数组就是我们的答案。
• 如果K大于左边数组的长度，说明左边的数组都是我们的答案，但是还有一部分的答案在右边的数组中。在下一次迭代时，我们只需要迭代右边的数组。
• 如果K小于左边数组的长度，说明左边数组中包含了我们的答案，但是还有部分的点，不是我们的答案。右边的数组中，不会包含我们的答案。在下一次迭代时，我们需要迭代左边的数组。

下面以[[3,3],[5,-1],[-2,4]]为例子做一个简单的图解：

• [3,3]的欧几里得距离，4.24
• [5,-1]的欧几里得距离，5.09
• [-2,4]的欧几里得距离，4.47

解答

/**
 * @param {number[][]} points
 * @param {number} K
 * @return {number[][]}
 */
var kClosest = function(points, K) {

    let reuslt = []
    
    // 欧几里得距离
    const getEuclideanDistance = (o1) => {
        const [x1, y1] = o1;
        const x2 = 0;
        const y2 = 0
        return Math.sqrt((x1 - x2) ** 2 + (y1 - y2) ** 2);
    }
    
    const divideAndConquer = (arr) => {
        if (!!arr.length && K) {
            const benchmark = getEuclideanDistance(arr[0])
            const left = []
            const right = []
            for (let i = 1; i < arr.length; i += 1) {
                if (getEuclideanDistance(arr[i]) < benchmark) {
                    left.push(arr[i])
                } else {
                    right.push(arr[i])
                }
            }
        
            if (left.length) {
                right.push(arr[0])
            } else {
                left.push(arr[0])
            }
            const len = left.length;

            if (K === len) {
                K -= len
                // K个点都在left中，结束递归
                reuslt = [...reuslt, ...left];
            } else if (K < len) {
                // k个点都在left中，但是left中还有多余的点，需要排查
                divideAndConquer(left)
            } else {
                // left中都是最近的点，还有一部分在right中，需要查找right
                K -= len
                reuslt = [...reuslt, ...left]
                divideAndConquer(right)
            }
        }
    }

    divideAndConquer(points)
    
    return reuslt;
};

🎉😄 43.字符串相乘

本题最简单的方法，就是用程序模拟小学乘法的步骤进行计算。

分治乘法

Karatsuba乘法是一种快速乘法。此算法在1960年由Anatolii Alexeevitch Karatsuba 提出，并于1962年得以发表。此算法主要用于两个大数相乘。普通乘法的复杂度是n2，而Karatsuba算法的复杂度仅为3n^log3≈3n^1.585（log3是以2为底的）

下面使用Karatsuba乘法分解下 5678 * 1234 的过程

思路

合并子问题的解时，请使用字符串加法，因为测试用例数字可能过大，会超过计算机的上限

解答

// 字符串加法，这里直接拷贝了网上现成的解答
var addition = function(num1, num2) {
    
    let i = num1.length - 1, j = num2.length - 1, add = 0;
    const ans = [];
    while (i >= 0 || j >= 0 || add != 0) {
        const x = i >= 0 ? num1.charAt(i) - '0' : 0;
        const y = j >= 0 ? num2.charAt(j) - '0' : 0;
        const result = x + y + add;
        ans.push(result % 10);
        add = Math.floor(result / 10);
        i -= 1;
        j -= 1;
    }
    return ans.reverse().join('');
}

var padZero = function (num) {
    let zero = ''
    while (num) {
        zero += '0'
        num -= 1
    }
    return zero
}

/**
 * @param {string} num1
 * @param {string} num2
 * @return {string}
 */
var multiply = function(num1, num2) {
    const divideAndConquer = (str1, str2) => {
        let str1High, str1Low, str2High, str2Low, str1Carry, str2Carry, r1, r2, r3, r4

        if (str1.length > 1) {
            const str1MiddIndex = Math.floor(str1.length / 2)
            str1High = str1.slice(0, str1MiddIndex)
            str1Low = str1.slice(str1MiddIndex)
            str1Carry = str1Low.length
        } else {
            str1High = str1
            str1Low = '0'
            str1Carry = 0
        }

        if (str2.length > 1) {
            const str2MiddIndex = Math.floor(str2.length / 2)
            str2High = str2.slice(0, str2MiddIndex)
            str2Low = str2.slice(str2MiddIndex)
            str2Carry = str2Low.length
        } else {
            str2High = str2
            str2Low = '0'
            str2Carry = 0
        }

        if (str1High.length <= 1 && str2High.length <= 1) {
            r1 = String(Number(str1High) * Number(str2High)) + padZero(str1Carry + str2Carry)
        } else {
            r1 = divideAndConquer(str1High, str2High) + padZero(str1Carry + str2Carry)
        }

        if (str1High.length <= 1 && str2Low.length <= 1) {
            r2 = String(Number(str1High) * Number(str2Low)) + padZero(str1Carry)
        } else {
            r2 = divideAndConquer(str1High, str2Low) + padZero(str1Carry)
        }

        if (str1Low.length <= 1 && str2High.length <= 1) {
            r3 = String(Number(str1Low) * Number(str2High)) + padZero(str2Carry)
        } else {
            r3 = divideAndConquer(str1Low, str2High) + padZero(str2Carry)
        }

        if (str1Low.length <= 1 && str2Low.length <= 1) {
            r4 = String(Number(str1Low) * Number(str2Low)) + ''
        } else {
            r4 = divideAndConquer(str1Low, str2Low)
        }

        return addition(addition(r1, r2), addition(r3, r4))
    }

    const result =  divideAndConquer(num1, num2)

    if (result[0] === '0') {
        return '0'
    }
    return result
};

后续

leetcode上一些分治题目的分析和解答，如有错误还请指正。应该可以对分治的思想有点浅薄的认知。共勉吧。