算法(2)-多数投票算法(Boyer-Moore Voting Algorithm)及推广

多数投票算法( Boyer-Moore Voting Algorithm)及推广

摩尔投票算法也可以叫做多数投票算法，是我在看到 leetcode 169（Majority Element）题目时看到的算法。

这篇文章从 leetcode 169（Majority Element）出发讲解摩尔投票算法的原理和优势，同时从 leetcode 229（Majority Element2）出发讲解摩尔投票算法的改进和推广。（本文所有代码都是python代码）

一、Majority Element题目介绍

给定一个长度为n的数组的时候，找出其中的主元素，即该元素在数组中出现的次数大于n/2的取整。题目中已经假定所给的数组一定含有元素，且主元素一定存在。一下是一些常用方法：

1.用字典遍历每个元素，并计数

dic = {}
for x in nums:
    if x in dic:
        dic[x] += 1
    else:
        dic[x] = 1
for key,value in dic.items():
    if value > len(nums)/2:
        return key

2.排序法

排序后，出现次数大于一半的肯定在中间

nums.sort()
return nums[len(nums)//2]

二、摩尔投票算法

摩尔投票算法的时间和空间都很低，时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)，这也是选择遮盖算法的原因。

1.算法原理

每次从数组中找出一对不同的元素，将它们从数组中删除，直到遍历完整个数组。由于这道题已经说明一定存在一个出现次数超过一半的元素，所以遍历完数组后数组中一定会存在至少一个元素。

• 算法在局部变量中定义一个序列元素(m)和一个计数器(i)，初始化的情况下计数器为0；
• 算法依次扫描序列中的元素，当处理元素x的时候，如果计数器为0，那么将x赋值给m，然后将计数器(i)设置为1；
• 如果计数器不为0，那么将序列元素m和x比较，如果相等，那么计数器加1，如果不等，那么计数器减1。
• 处理之后，最后存储的序列元素(m)，就是这个序列中最多的元素。
  （如果不确定是否存储的元素m是最多的元素，还可以进行第二遍扫描判断是否为最多的元素）

总结起来，核心思想就是，多数元素因为其个数超过了n/2，所以用一个多数元素和抵消一个其他元素，那么剩下一定是多数元素，如果抵消过程中，有其他元素和其他元素抵消了，那么就会剩下更多的多数元素。

2，算法伪代码

初始化元素m=0,计数器count=0;
遍历数组中的每个数x:
    if i = 0:
        m = x and count = 1
    else if m = x:
        count = count + 1
    else:
        count = count − 1
    return m

3，Majority Element的摩尔投票算法求解

num,count = nums[0],0
for x in nums:
    if count == 0:
        num,count = x,1
    elif x == num:
        count += 1
    else:
        count -= 1
return num

三、摩尔投票算法的改进

1.题目：LeetCode 229 Majority Element II

给定一个整型数组，找到所有主元素，它在数组中的出现次数严格大于数组元素个数的三分之一。

算法：每次删除三个不相同的数，最后留下的一定是出现次数超过1/3的数，这个思想可以推广到出现次数超过1/k次的元素有哪些。

• 因为出现次数大于n/3的元素最多只有两个，所以最开始可以维护两个数字(num1,num2)和两个计数器(counter1,counter2)；
• 遍历数组，当数组中元素和num1或者num2相同，对应的counter1或者counter2加1；
• 如果counter1或counter2为0，将遍历到的该元素赋给num1或者nums2；
• 否则counter1和counter2都减1。

2.python代码

num1,count1 = None,0
        num2,count2 = None,0
        for x in nums:# 算法核心，找出主要元素的候选值
            if x == num1:
                count1 += 1
            elif x == num2:
                count2 += 1
            elif count1 == 0:
                num1,count1 = x,1
            elif count2 == 0:
                num2,count2 = x,1
            else:
                count1 -= 1
                count2 -= 1

        count1,count2 = 0,0
        for x in nums:# 统计确定候选值是真的主要元素
            if x == num1:
                count1 += 1
            if x == num2:
                count2 += 1
        res = []
        if count1 > len(nums)//3:
            res.append(num1)
        if count2 > len(nums)//3:
            res.append(num2)
        return res