排序算法：堆排序——JavaScript及Java实现

完整代码

JavaScript 实现
https://github.com/Jiacheng78...

Java 实现
https://github.com/Jiacheng78...

堆的概念

一般堆排序里的堆指的是二叉堆，是一种完全二叉树。完全二叉树有一个性质是，除了最底层，每一层都是满的，这使得堆可以利用数组来表示，每个结点对应数组中的一个元素。

二叉堆有两种：最大堆和最小堆。最大堆所有父节点的值大于子节点的值，最小堆所有父节点的值小于子节点的值。

显然，最大堆堆顶元素必然是堆中最大的元素，最小堆堆顶元素是堆中最小的元素

堆排序实现

下面使用 JavaScript 代码介绍堆排序实现。

首先需要初始化一个二叉堆，前面介绍了二叉堆实际上就是一个数组，因此初始化非常简单：

constructor(arr) {
    this.data = [...arr];
    this.size = this.data.length;
}

在初始化的时候，如果某一结点不符合二叉堆的性质，需要将该节点与两个子节点进行交换。具体流程是，当前节点与两个子节点进行对比，如果不符合二叉堆性质，取三个里面的最大值并进行交换，交换后的子节点继续递归进行后续子树的交换：

maxHeapify(i) {
    let max = i; // 保存最大的节点下标

    if (i >= this.size) return;

    const left = i * 2 + 1; // 左节点下标
    const right = i * 2 + 2; // 右节点下标

    if ((left < this.size) && (this.data[left] > this.data[max])) {
        max = left;
    }

    if ((right < this.size) && (this.data[right] > this.data[max])) {
        max = right;
    }

    if (max === i) return; // 如果最大节点是其本身，不进行交换

    [this.data[i], this.data[max]] = [this.data[max], this.data[i]];

    return this.maxHeapify(max);
}

关键代码：
const left = i * 2 + 1; // 获取左节点
const right = i * 2 + 2; // 获取右节点

上面的maxHeapify函数只能对某一结点进行对调，无法对整个数组进行重构。构造一个最大堆需要获取到所有的分支节点（不含叶子节点），然后对每个分支节点依次进行递归重构：

rebuildHeap() {
    // 获取分支节点
    const L = Math.floor(this.size / 2);
    for(let i = L - 1; i >= 0; i--){
        // 每个i都代表一个分支节点的下标
        this.maxHeapify(i);
    }
}

关键代码：
const L = Math.floor(this.size / 2); // 获取分支节点

注意上一步完成后数组还并没有完成排序，只是基本有序，下面进行排序操作。从最后一个元素开始，和堆顶元素交换，然后size-1将最后一个元素分离出堆，调用maxHeapify维持最大堆性质。由于堆顶元素必然是堆中最大的元素，所以一次操作之后，堆中存在的最大元素被分离出堆，重复n-1次之后，数组排列完毕：

sort() {
    for(let i = this.size - 1; i > 0; i--){
        [this.data[0], this.data[i]] = [this.data[i], this.data[0]];
        this.size--; // 将交换后的元素分离出堆
        this.maxHeapify(0);
    }
    this.size = this.data.length; // 排序完成后重新获取size
}

如果是从小到大排序，用最大堆；从大到小排序，用最小堆

时间复杂度与稳定性

n个元素的完全二叉树的深度h=floor(logn)

堆调整时间复杂度：O(log n)
建堆的时间复杂度：O(n)
堆排序的时间等于建堆和进行堆调整的时间之和：O(nlog n + n) = O(nlog n)

堆排序是不稳定的算法，它不满足稳定算法的定义。它在交换数据的时候，是比较父结点和子节点之间的数据，所以，即便是存在两个数值相等的兄弟节点，它们的相对顺序在排序也可能发生变化。

面试题

美团面试题：

一个没有排序的数组，不对整个数组进行排序，如何找出最大的 m 个元素
（不用写代码，讲出思路即可）

使用最大堆的堆排序。经过上面的分析可以看出，堆排序有个特点，每一次循环后堆顶元素被分离出堆，由于最大堆堆顶元素始终都是这个堆中最大的元素，因此只需要循环 m 次就能找出数组中最大的 m 个元素，无需对整个数组进行排序。

字节面试题：

Leetcode 215. 数组中的第K个最大元素
进阶：给你1亿个数字，找出最大的前K个

这道题有多种解法，最简单的就是先快速排序，然后获取下标 len - k 的元素，时间复杂度 O(nlog n)。也可以利用与快排类似的分治思想。还可以利用冒泡排序思想，正常的冒泡排序会循环 len-1 次，每次都会把最大的元素交换到最后，这里只需要循环 k 次，把最大的 k 个元素交换出来就行。

如果数组长度不是特别大，排序是没问题的。但是如果数组特别大（例如题目中给的1亿个），别说排序了，可能内存里都放不下了，这种情况就需要用到下面的优先队列思想。

还有一种就是利用优先队列思想。优先队列可以看作一种不完全的堆排序，正常的堆排序会循环 n - 1 次，每次都 pop() 出一个堆顶元素，最终将整个数组进行排序，优先队列可以循环指定次数，pop() 出前 k 个最大或最小的元素，这样就不用对整个数组进行排序。优先队列有两种思路：

思路1：把 len 个元素都放入一个最小堆中，然后再 pop() 出 len - k 个元素，此时最小堆只剩下 k 个元素，堆顶元素就是数组中的第 k 个最大元素
思路2：把 len 个元素都放入一个最大堆中，然后再 pop() 出 k - 1 个元素，因为前 k - 1 大的元素都被弹出了，此时最大堆的堆顶元素就是数组中的第 k 个最大元素

实现一个 pop 函数，一次从堆顶弹出一个元素：

pop() {
    let lastNode = this.size - 1; // 获取堆中最后一个元素的下标
    [this.data[0], this.data[lastNode]] = [this.data[lastNode], this.data[0]];
    this.size--; // 堆顶元素与最后一个元素交换，将交换后的元素分离出堆
    this.maxHeapify(0);
}
peek() {
    // 获取当前堆顶元素
    return this.data[0];
}

之前的 sort 方法相当于进行 n - 1 次 pop 操作，这边只需要进行 k - 1 即可：

const heap = new Heap([15, 2, 8, 12, 5, 2, 3, 4, 7]);
heap.rebuildHeap();
// heap.sort();
for (let i=0; i<k-1; i++) {
    heap.pop();
}
// k-1 次操作之后，最大堆堆顶元素就是第 k 个最大元素
console.log(heap.peek());

Java 使用内置的优先队列（PriorityQueue）实现：

import java.util.PriorityQueue;

public class Solution {
    public int findKthLargest(int[] nums, int k) {
        int len = nums.length;
        // 使用一个含有 len 个元素的最小堆，默认是最小堆，可以不写 lambda 表达式：(a, b) -> a - b
        // 如果是最大堆应写成：(a, b) -> b - a
        PriorityQueue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>(len, (a, b) -> a - b);
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            minHeap.add(nums[i]); // 添加元素
        }
        for (int i = 0; i < len - k; i++) {
            minHeap.poll(); // 弹出堆顶元素
        }
        return minHeap.peek(); // 获取堆顶元素
    }
}

参考
如何用 JS 实现二叉堆
堆排序基本原理及实现