四.机器学习算法篇-逻辑回归

1. 逻辑回归的原理

逻辑回归名字里带着回归，并不是回归，而是用回归的方式解决分类的算法。
逻辑回归的输入：ℎ(w)= w_0+w_1x_1+w_2x_2+…= w^Tx
这个输入跟线性回归很相似。

然后看下Sigmoid 函数

画下这个函数的图像
代码示例

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

def sigmod(t):
    return 1/(1+np.exp(-t))

x = np.linspace(-10, 10, 500)
y = sigmod(x)
plt.figure(figsize=(8,4),dpi=80)
plt.plot(x, y)
plt.show()

可以看到自变量取值为任意实数,值域[0,1]，这就等同于概率值

将逻辑回归的输入带入到sigmod函数中。

然后得到逻辑回归的预测函数，这样就完成了由值到概率的转换，假定一个阈值为0.5，默认也是取0.5，大于0.5概率归于1，小于0.5概率的归为0，这就完成了一个二分类的问题。

那么就有

整合下得到

3.逻辑回归的损失函数

• 推导方式一
  由预测函数推导
  

没有其他特别的，依然是似然函数开始

接着取对数

l(θ)取最大值是我们最希望，但通常优化的习惯是取最小值，所以这里取-l(θ), 整理后，可得如下

代入得到

这个就是逻辑回归的损失函数。

求导

• 推导方式二
  逻辑回归解决的是二分类问题，设y是我们目标值(1, 0)，p则是预测概率值，
  若y的真实值为1，则预测的p越大，损失越小，预测的p越小，损失越大
  若y的真实值为0，而预测的p越大，损失越大，预测的p越小，损失越小
  那么我可以设定损失函数为
  

我们下y=1和y=0时，损失函数的图像
代码示例

from matplotlib import pyplot as plt
from matplotlib import font_manager
import numpy as np

font = font_manager.FontProperties(fname="/usr/share/fonts/wps-office/msyhbd.ttf", size=12)

def log(t):
    return np.log(t)


p = np.arange(0.1, 1, 0.1)
y1 = -log(p)
y2 = -log(1-p)
plt.plot(p, y1, label='y=1')
plt.plot(p, y2, label='y=0')

plt.legend(prop=font, loc='best')
plt.show()

得到

对损失函数进行下整合得到

然后得到损失函数

与第一个方式推导结果相同。

4.鸢尾花示例

# coding:utf-8
import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn import datasets
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from matplotlib import pyplot as plt
from matplotlib import font_manager

font = font_manager.FontProperties(fname="/usr/share/fonts/wps-office/msyhbd.ttf", size=15)

def logist_fun():
    # 加载数据集
    iris = datasets.load_iris()
    x = iris.data  # 特征值
    y = iris.target # 目标值

    # 目标值有三个，这里只取0和1，做二分类演示
    data = pd.DataFrame(x)
    data['y'] = y

    data = data[data['y'] !=2 ]
    print(data)

    x = data.loc[:,[0, 1, 2, 3]]
    y = data.loc[:, 'y']
    print(x)

    # 分割数据集
    x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(x,y,random_state=102)

    # 标准化
    stand = StandardScaler()
    x_train = stand.fit_transform(x_train)
    x_test = stand.transform(x_test)

    # 建立模型
    lr = LogisticRegression(C=1.0)
    lr.fit(x_train, y_train)
    y_predict = lr.predict(x_test)
    score = lr.score(x_test, y_test)
    print("准确率{}".format(score))
    return y_predict, y_test


def draw_fun(y_predict, y_test):

    x = range(1,len(y_predict)+1)
    plt.figure(figsize=(25, 5), dpi=80)
    plt.scatter(x, y_test, label="真实值",color='blue', linewidths=20)
    plt.scatter(x, y_predict,label='预测值', color='red', linewidths=3)

    x_tick = list(x)
    y_tick = list(range(0,3))

    plt.legend(prop=font, loc='upper left')
    plt.xticks(list(x), x_tick)
    plt.yticks(y_tick)
    plt.grid(alpha=0.8)
    plt.show()


if __name__ == '__main__':
    y_predict, y_test = logist_fun()
    draw_fun(y_predict, y_test)

结果如图

5.逻辑回归的决策边界

以鸢尾花数据集为例子，简单化，只取前两个特征，和目标值为0和1的数据集，然后画下分布图

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import font_manager
from sklearn import datasets

font = font_manager.FontProperties(fname="/usr/share/fonts/wps-office/msyhbd.ttf", size=15)

iris = datasets.load_iris()
x = iris.data  # 特征值
y = iris.target  # 目标值

data = pd.DataFrame(x)
data['y'] = y

# 目标值有三个，这里只取0和1， 特征值也只取两个，做二分类演示
data = data[data['y'] != 2].loc[:, [0, 1, 'y']]

X0_0 = data[data['y']==0].loc[:,0]
X0_1 = data[data['y']==0].loc[:,1]
X1_0 = data[data['y']==1].loc[:,0]
X1_1 = data[data['y']==1].loc[:,1]
print(data.head())
plt.scatter(X0_0, X0_1, color='blue')
plt.scatter(X1_0, X1_1, color='red')
plt.show()

图像如下
我们设定的阈值为0.5，也就是

等于0.5， 则

在示例中，则有

其中θ0 是偏置， θ1和θ2是系数，x1和x2是特征值，转换后，有

修改下代码绘制决策边界

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import font_manager
from sklearn import datasets
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split

font = font_manager.FontProperties(fname="/usr/share/fonts/wps-office/msyhbd.ttf", size=15)

iris = datasets.load_iris()
x = iris.data  # 特征值
y = iris.target  # 目标值

data = pd.DataFrame(x)
data['y'] = y

# 目标值有三个，这里只取0和1， 特征值也只取两个，做二分类演示
data = data[data['y'] != 2].loc[:, [0, 1, 'y']]


# 逻辑回归
x = data.loc[:,[0, 1]]
y = data.loc[:, 'y']
x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(x,y,random_state=102)
logic_reg = LogisticRegression()
logic_reg.fit(x_train, y_train)

# x2特征值和x1的关系
def x2(x1):
    global logic_reg
    return (-logic_reg.intercept_[0] - logic_reg.coef_[0][0] * x1)/logic_reg.coef_[0][1]


X0_0 = data[data['y']==0].loc[:,0]
X0_1 = data[data['y']==0].loc[:,1]
X1_0 = data[data['y']==1].loc[:,0]
X1_1 = data[data['y']==1].loc[:,1]

x1_plot = np.arange(4,8)
x2_Plot = x2(x1_plot)

plt.scatter(X0_0, X0_1, color='blue')
plt.scatter(X1_0, X1_1, color='red')
plt.plot(x1_plot,x2_Plot)
plt.show()

结果如下

6.添加多项式扩展

对于线性的分类，决策边界，就是类似一条直线，那如果是非线性的，如下图

它的决策边界是类似一个椭圆，这时候可以引入多项式。

# coding:utf-8
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import font_manager
from matplotlib.colors import ListedColormap
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

font = font_manager.FontProperties(fname="/usr/share/fonts/wps-office/msyhbd.ttf", size=15)

# 构造数据集
np.random.seed(666)
X = np.random.normal(0, 1, size=(500, 2))
y = np.array(X[:,0]**2 + X[:,1]**2 < 1.5, dtype='int')


def pnf(degree):
    return Pipeline([
        ('poly', PolynomialFeatures(degree=degree)),
        ('std_scaler', StandardScaler()),
        ('log_reg', LogisticRegression())
    ])

def plot_decision_boundary(model, axis):
    x0, x1 = np.meshgrid(
        np.linspace(axis[0], axis[1], int((axis[1] - axis[0]) * 100)).reshape(-1, 1),
        np.linspace(axis[2], axis[3], int((axis[3] - axis[2]) * 100)).reshape(-1, 1)
    )
    x_new = np.c_[x0.ravel(), x1.ravel()]

    y_predict = model.predict(x_new)
    zz = y_predict.reshape(x0.shape)

    custom_cmap = ListedColormap(['#EF9A9A', '#FFF59D', '#90CAF9'])

    plt.contourf(x0, x1, zz, cmap=custom_cmap)

poly_log_reg = pnf(degree=2)
poly_log_reg.fit(X, y)

plot_decision_boundary(poly_log_reg, axis=[-4, 4, -4, 4])
plt.scatter(X[y==0,0], X[y==0,1])
plt.scatter(X[y==1,0], X[y==1,1])
plt.show()

如图