计算机组成原理笔记——数制(Number Systems)

bsjohnson

十进制系统

十进制系统即The Decimal System

在日常生活中,我们每天都在使用逢十进一的数位(0、1、2、3、4、5、6、7、8、9)来表示数字,这种数制叫做十进制。
考察数字83的意义,可以表示成:
83 = (8 × 10) + 3
即八个10再加上一个3;
考察数字4728的意义,可以表示成:
4728 = (4 × 1000) + (7 × 100) + (2 × 10) + 8
即四个1000加上七个100再加上两个10再加上一个8。

从上得知,我们可以说,十进制的基数(base/radix)为10。也即,十进制数是由每个数位的数字乘以10的n次幂,n与数位的位置相关。例如:
83 = (8 × 101) + (3 × 100)
83是由两个数位构成,最左边的数位为最高(有效)数位,这里是8;最右边的数位是最低(有效)数位,这里是3。最低数位的位置所对应的10的幂为0,从右往左依次加一。即,数位3为最低数位,故其10的幂为0,表示为3×100;往左移动一位,数位为8,其10的幂为1,表示为8×101,将所有数位相加得到的和即该十进制数,也即,8×101+ 3×100= 83
使用同样的方法拆解数字4728,表示如下:
4728 = (4 × 103) + (7 × 102) + (2 × 101) + (8 × 02)

我们使用同样的方法表示小数部分,只不过小数部分数位的10的幂为负数。其最大的数位的10的幂为-1,从左向右其数位的10的幂依次减1。例如:
0.256 = (2 × 10-1) + (5 × 10-2) + (6 × 10-3)

在一个既有整数部分又有小数部分的十进制数中,其数位的10的幂也既有正数又有负数:
442.256 = (4 × 102) + (4 × 101) + (2 × 100) + (2 × 10-1) + (5 × 10-2) + (6 × 10-3)

使用表格表示上述数字的数位位置和其10的幂的关系:

472256
百位十位个位十分位百分位千分位
10210110010-110-210-3
position 2position 1position 0position -1position -2position -3

一般的,十进制数使用X来表示:
$$X = \{...d_2d_1d_0d_{-1}d_{-2}d_{-3}...\}$$
X的值为:
$$X=\sum_{i}(d_i×10^i)$$

按位计数系统

按位计数系统即Positional Number Systems

十进制系统是按位计数系统的一种。
在一个按位计数系统中,每个数字(Number)的数位(Digit)的位置使用i表示,数位的权用ri表示。其中,r为数字的基数(base/radix)。

一般的,在该系统中,一个数字可表示为:
$$(...a_3a_2a_1a_0a_{-1}a_{-2}a_{-3}...)_r$$
其中,每一个数位ai都是一个整数,且0≤ai≤r

该数字的值为:

$$ ... + a_3r^3 + a_2r^2 + a_1r^1 + a_0r^0 + a_{-1}r^{-1} + a_{-2}r^{-2} + a_{-3}r^{-3} + ... = \sum_i(a_i × r^i) $$

二进制系统

二进制系统即The Binary System

在十进制系统中,每个数位有十个数可以表示,即0~9。在二进制系统中,每个数位只有0或者1这两个数来表示。
为了避免在表达过程中引起的数制概念混乱,我们给每个数字加上数制下标。例如,十进制数83和4728,我们使用8310和472810表示。

二进制数中的1和0在十进制中的意义相同:
02 = 010
12 = 110

如果要使用二进制数字表示十进制数字中更大的数字(>2),明显的,在二进制中则需要进位了:

$$ 10_2 = (1 × 2^1) + (0 × 2^0) = 2_{10} \\ 11_2 = (1 × 2^1) + (1 × 2^0) = 3_{10} \\ 100_2 = (1 × 2^2) + (0 × 2^1) + (0 × 2^0) = 4_{10} $$

小数部分依然使用10的负次幂表示,这里不再举例。
一般的,使用二进制表示数字:

$$ Y = \{...b_2b_1b_0b_{-1}b_{-2}b_{-3}...\} $$

Y的值为:

$$ Y = \sum_i(b_i × 2^i) $$

二进制和十进制的转换

将二进制数转换为十进制数非常容易,上述的笔记中已经有很多例子。

而要将十进制数字转换为二进制数字,整数部分和小数部分则需要分开处理。

整数部分

如上述笔记所叙,在二进制中,整数部分可表示为:

$$ b_{m-1}b_{m-2}...b_2b_1b_0\quad(b_i=0或1) $$

该数字的值为:

$$ (b_{m-1} × 2^{m-1}) + (b_{m-2} × 2^{m-2}) + ... + (b_1 × 2^1) + b_0 $$

假设我们需要将十进制的整数N转换为二进制,可以将N除以2,将得到一个商N1和余数R0,记为:

$$ N = 2 × N_1 + R_0\quad(R_0=0或1) $$

接着,我们将商N1继续除以2。令其新的商记为N2,新的余数记为R1,则:

$$ N_1 = 2 × N_2 + R_1\quad(R_1=0或1) $$

那么有:

$$ N = 2(2N_2 + R_1) + R_0 = (N_2 × 2^2) + (R_1 × 2^1) + R_0 $$

我们可以将得到的商继续往下除以2,由于N > N1 > N2...,最终会得到商:Nm-1 = 1(010和110除外)以及余数Rm-2 = 0或1,那么我们可以得到:

$$ N = (1 × 2^{m-1}) + (R_{m-2} × 2^{m-2}) + ... + (R_2 × 2^2) + (R_1 × 2^1) + R_0 $$

N的二进制形式。
因此,将十进制数的整数部分转换为二进制数,只需将数字不断除以2即可,将得到的余数(非0即1)逆序排列,就得到了二进制的整数部分。

例1:将1110转换为二进制。
解:
image

例2:将2110转换为二进制。
解:
image

小数部分

如上述笔记所叙,在二进制中,整数部分可表示为:

$$ b_{-1}b_{-2}b_{-3}...\quad(b_i=0或1) $$

该数字的值为:

$$ (b_{-1} × 2^{-1}) + (b_{-2} × 2^{-2}) + (b_{-3} × 2^{-3})... $$

也可以记为:

$$ 2_{-1} × (b_{-1} × 2^{-1} × (b_{-2} × 2^{-1} × (b_{-3} + ...)...)) $$

上一个表达式正好提供了一个转换的思路。假设我们要将数字F(0<F<1)由十进制转换为二进制。由上可知,数字F可以表示为:

$$ F = 2^{-1} × (b_{-1} + 2^{-1} × (b_{-2} + 2^{-1} × (b_{-3} + ...)...)) $$

等式两边同乘以2得:

$$ 2F = b_{-1} + 2^{-1} × (b_{-2} + 2^{-1} × (b_{-3} + ...)...) $$

由于0<F<1,显然的,2F的整数部分b-1∈{0, 1}。我们将剩余的小数部分记为F1,且0<F1<1,可得:

$$ F_1 = 2^{-1} × (b_{-2} + 2^{-1} × (b_{-3} + ...)...) $$

为了求b-1,我们可重复上述步骤。以此类推,小数部分的转换算法即将小数不断乘以2即可。算法中每一步的被乘数都是上一步的积的小数部分,且积的整数部分一定是0或1,其构成之正序序列即二进制的小数部分。然而,这个算法是不精确的,因为该算法的精确停止条件是直到积的小数部分等于0为止,而有时该算法可能会一直循环下去。因此,我们需要另一个停止条件:将算法运行到我们所需要的一定精度即可。

例1:将0.8110转换为二进制。
解:
image

例2:将0.2510转换为二进制。
解:
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