经典动态规划：0-1 背包问题

前言

经过前面三篇动态规划文章的介绍，相信大家对动态规划、分治、贪心有了充分的理解，对动态规划的 3 个核心问题、其本质也有了了解。

纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。

那么今天开始我们来聊聊具体的那些面试时常考的题目。

（还没有看过前三篇文章的同学齐姐叫你补课啦～）

（一）：初识动态规划

（二）：动态规划的 3 个核心问题

（三）：动态规划的本质

问题背景

月黑风高的夜晚，张三开启了法外狂徒模式：他背着一个可装载重量为 W 的背包去地主家偷东西。

地主家有 N 个物品，每个物品有重量和价值两个属性，其中第 i 个物品的重量为 wt[i]，价值为 val[i]。

问张三现在用这个背包装物品，最多能装的价值是多少？

举例：

N = 3 //地主家有三样东西

wt = [2,1,3] //每样东西的重量

val = [4,2,3] //每样东西的价值

W = 4 //背包可装载重量

算法应该返回 6.

因为选择第一件物品和第二件物品，在重量没有超出背包容量下，所选价值最大。

如果每种物品只能选 0 个或 1 个（即要么将此物品装进包里要么不装），则此问题称为 0-1 背包问题；如果不限每种物品的数量，则称为无界（或完全）背包问题。

今天这篇文章我们只关注 0-1 背包问题，下一篇文章再聊完全背包问题。

那我们是如何选择要装入的物品的？

思路初探

首先，质量很大价值很小的物品我们先不考虑（放着地主家金银财宝珍珠首饰不偷，背出来一包煤...，那也就基本告别盗窃行业了...）

然后呢？再考虑质量大价值也大的？还是质量较小价值也稍小的？

我们自然而然想到：装价值/质量 比值最大的，因为这至少能说明，此物品的“价质比”最大（也即贪心算法，每次选择当前最优）

那么这样装能保证最后装入背包里的价值最优吗？

我们先来看一个例子：

假设有 5 个物品，N = 5，每种物品的质量与价值如下：

W : 20, 30, 40, 50, 60

V : 20, 30, 44, 55, 60

V/W: 1, 1, 1.1, 1.1, 1

背包容量为 100

如果按上述策略：优先选“价质比”最大的：即第三个和第四个物品

此时质量：40+50=90

价值：44+55 =99

但我们知道，此题更优的选择策略是：选第一个，第二个和第四个

此时质量：20+30+50=100

价值：20+30+55=105

所以，我们的“价质比”这种贪心策略显然不是最优策略。

读过一文学懂动态规划这篇文章的读者会发现，之前文章中兑换零钱例子我们最开始也是采取贪心策略，但最后发现贪心不是最优解，由此我们引出了动态规划。

没错，今天这题也正是动态规划又一经典的应用。

解题思路

根据动之前的文章我们知道，动态规划的核心即：状态与状态转移方程。

那么此题的状态是什么呢？

状态

何为状态？

说白了，状态就是已知条件。

重读题意我们发现：此题的已知条件只有两个：

• 背包容量
• 可选的物品

题目要求的是在满足背包容量前提下，可装入的最大价值。

那么我们可以根据上述状态定义出 dp 数组，即：

dp[i][w] 表示：对于前i个物品，当前背包的容量为w，这种情况下可以装的最大价值是dp[i][w]

我们自然而然的考虑到如下特殊情况：

当 i = 0 或 w = 0，那么：

dp0 = dp... = 0

解释：
对前 0 个物品而言，无论背包容量等于多少，装入的价值为 0；

当背包容量为 0 时，无论装入前多少个物品（因为一个都装不进去），背包里的价值依旧为 0。

根据这个定义，我们求的最终答案就是dp[N][W]

我们现在找出了状态，并找到了 base case，那么状态之间该如何转移呢（状态转移方程）？

状态转移方程

dpi 表示：对于前i个物品，当前背包的容量为w，这种情况下可以装的最大价值是dp[i][w]。

思考：对于当前第 i 个物品：

• 如果没有把第 i 个物品装入包里（第 i 个物品质量大于当前背包容量）：那么很显然，最大价值dpi应该等于dpi - 1，没有装进去嘛，故当前背包总价值就等于之前的结果，即第i - 1 个物品之前的总价值 。
• 如果把第 i 个物品装入了包里，那么 dpi应该等于什么呢？

它应该等于下面两者里的较大值：

1. dpi - 1 //前i - 1个物品，背包所装的最大价值
2. dp[i - 1]w - wt[i]] + val [i] //当前第 i 个物品我装里边了，那么此时背包装入的总价值即为：当前第 i 个物品的价值 val [i] + 第 i 个物品之前，背包容量为w - wt[i]（w 减去当前第 i 个物品的质量）dp[i - 1]w - wt[i]] 时的价值

上述两个如果可以写成以下代码：

//如果第i个物品质量大于当前背包容量
if (wt[i] > W) {
    dp[i][W] = dp[i-1][W];  //继承上一个结果
} else {
//在“上一个结果价值”和“把当前第i个物品装入背包里所得到价值”二者里选价值较大的
    dp[i][W] = Math.max(dp[i-1][W],dp[i-1][W-wt[i]] + val[i])
}

例子

我们接来下再用一个具体的例子，来理解状态和状态转移方程。

现在我们有 4 个物品，物品对应的价值与质量分别如上图左侧所示：

6, 4

2，5

1, 4

8, 1

Step 1

我们首先初始化一行和一列 0，分别对应dp0 和 dpi。

那么第一个问号处应该填什么呢？

我们根据上述表述的状态转移关系来判断：

当前第一个物品的重量 4 > 背包容量，故装不进去，所以继承上一个结果。

上一个结果是什么呢？

就是第 i - 1个物品，也就是第 0 个，和W = 1时的价值：

if (wt[i] > W) {
    dp[i][W] = dp[i-1][W];  //继承上一个结果
}

此时方框里的值为 0，故第一个问号这里应该填 0

Step 2

现在我们走到了当背包容量 W = 2 的时候，此时当前 i (依旧第一个物品)能否装进背包里呢？

我们发现 4 > 2，此时还是装不进去，那么同样继承上一个结果。

上一个结果是 i 不变(依旧是第 0 个物品),W = 2，所以结果依旧为 0。

Step 3

现在来到 W = 3，发现依旧装不进去，所以填 0。

Step 4

下一步到 W = 4 这里了，

此时物品重量 4 = 4(背包容量)，可以装里，那么按照之前状态转移关系应该是：

else {
//在“上一个结果价值”和“把当前第i个物品装入背包里所得到价值”二者里选价值较大的
    dp[i][W] = Math.max(dp[i-1][W],dp[i-1][W-wt[i]] + val[i])
}

Option A:

• 上一个结果 : dpi - 1，即dp0 = 0

Option B:

• 把当前第 i 个物品装入背包里所得到价值：dp[i - 1]W - wt[i]] + val [i]

此时第一个物品的重量为 4，背包容量为 4,

故要想装入重量为 4 的此物品，那么背包先前的容量必须为当前背包容量 - 当前物品容量：4 - 4 = 0。

我们随即找到在没装入此物品（重量为 4，价值为 6）之前的dp[i -1]W - wt[i]] = dp0 = 0

那么dp[i -1]W - wt[i]] + val [i] = 0 + 6 = 6

6 和 0 选择一个最大值，所以这里问号处应填入6

Step 5

下一步我们来到 W = 5 这里，此时依旧是第一个物品，质量 4 < 5(背包容量)，我们可以装里边。

然后我们在

Option A:

• 上一个结果 ：dp0 = 0

Option B:

• 把当前第 i 个物品装入背包里所得到价值：dp[i -1]W - wt[i]] + val [i]

此时第一个物品的重量为 4，背包容量为 5

故要想装入重量为 4 的此物品，那么背包先前的容量必须为：当前背包容量 - 当前物品容量：5 - 4 = 1 ，

我们随即找到在没装入此物品(重量为 4，价值为 6)之前的dp[i - 1]W - wt[i]] = dp0 = 0

那么dp[i -1]W - wt[i]] + val [i] = 0 + 6 = 6

选择一个最大值，即 6，所以此处应该填入 6

我们根据以上状态转系关系，依次可以填出空格其它值，最后我们得到整个 dp 数组：

V	W	0	1	2	3	4	5	6
0	0	0	0	0	0	0	0	0
6	4	0	0	0	0	6	6	6
2	5	0	0	0	0	6	6	6
1	4	0	0	0	0	6	6	6
8	1	0	8	8	8	8	14	14

最后的 dp4：考虑前四个物品，背包容量为 6 的情况下，可装入的最大价值，即为所求。

(注意：我们在这里求的是 0-1 背包问题，即某一个物品只能选择 0 个或 1 个，不能多选！)

代码

根据以上思路，我们很容易写出代码：

两层 for 循环

1. 外层循环 i 遍历物品(即前几个物品)：

for(int i = 1;i <=N;i++){
        ...
}

1. 内层循环 j 遍历 1~W(背包容量)之间的整数值：

然后写入状态转移方程

for(int j = 0;j <= W;j++){
        //外层循环i,如果第i个物品质量大于当前背包容量
    if (wt[i] > W) {
        dp[i][W] = dp[i-1][W];  //继承上一个结果
    } else {
        //在“上一个结果价值”和“把当前第i个物品装入背包里所得到价值”二者里选价值较大的
        dp[i][W] = Math.max(dp[i-1][W],dp[i-1][W-wt[i]] + val[i])
    }
}

由此我们给出完整代码：

class solution{
        public int knapsackProblem(int[] wt,int[] val,int size){
                //定义dp数组
                int[][] dp = new int[wt.length][size];
                //对于装入前0个物品而言，dp数组储存的总价值初始化为0
                for(int i = 0;i < size;i++){
                    int[0][i] = 0;
                }
                //对于背包容量W=0时，装入背包的总价值初始化为0
                for(int j = 0;j < size;j++){
                    int[j][0] = 0;
                }
                //外层循环遍历物品
                for(int i = 1;i <= N;i++){
                    //内层循环遍历1~W(背包容量)
                    for(int j = 0;j <= W;j++){
                        //外层循环i,如果第i个物品质量大于当前背包容量
                        if (wt[i] > W) {
                            dp[i][W] = dp[i-1][W];  //继承上一个结果
                        } else {
                            //在“上一个结果价值”和“把当前第i个物品装入背包里所得到价值”二者里选价值较大的
                            dp[i][W] = Math.max(dp[i-1][W],dp[i-1][W-wt[i]] + val[i])
                        }
                    }
                }
        }
}

只要我们定义好了状态（dp 数组的定义），理清了状态之间是如何转移的，最后的代码水到渠成。

本文所说的这个 0-1 背包问题，Leetcode 上并没有这个原题，所以对于背包问题，最重要的是它的变种。

背包问题是一大类问题的统称，很大一部分动态规划的题深层剖析都可以转换为背包问题。

所以还需要理解体会背包问题的核心思想，再将此种思想运用到其它一类背包问题的问题上。

那么背包问题还有哪些变化呢？我们下期见～