图算法系列之计算图中最短路径

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前言

在前面两篇中我们通过深度优先搜索可以从图中找出一条通过顶点v到顶点w的路径，但是深度优先搜索与顶点的输入有很大的关系，找出来的路径也不一定是最短的，通常情况下我们很多时候需要找出图中的最短路径，比如：地图功能。这里我们就需要使用到广度优先搜索算法

广度优先搜索

依然使用之前定义的寻找路径的API

public class Paths {
    Paths(Graph graph, int s);
    
    boolean hasPathTo(int v); //判断出从s->v是否存在路径
    
    Iterable<Integer> pathTo(int v); //如果存在路径，返回路径
}

在广度优先搜索中，为了找出最短路径，我们需要按照起点的顺序来遍历所有的顶点，而不在是使用递归来实现；算法的思路：

1. 使用队列来保存已经被标记过但是邻接表还未被遍历过的顶点
2. 取出队列中的下一个顶点v并标记它
3. 将v相邻的所有未被标记的顶点加入到队列

在该算法中，为了保存路径，我们依然需要使用一个边的数组edgeTo[]，用一颗父链树来表示根节点到所有连通顶点的最短路径。

public class BreadthFirstPaths {
    private boolean marked[];
    private int[] edgeTo;
    private int s;
    private Queue<Integer> queue = new LinkedListQueue<>();

    public BreadthFirstPaths(Graph graph, int s) {
        this.s = s;
        this.marked = new boolean[graph.V()];
        this.edgeTo = new int[graph.V()];

        bfs(graph, s);
    }

    private void bfs(Graph graph, int s) {
        this.marked[s] = true;
        this.queue.enqueue(s);
        while (!this.queue.isEmpty()) {
            Integer v = this.queue.dequeue();
            for (int w : graph.adj(v)) {
                if (!this.marked[w]) {
                    this.marked[w] = true;
                    this.edgeTo[w] = v;
                    this.queue.enqueue(w);
                }
            }
        }


    }

    public boolean hasPathTo(int v) {
        return this.marked[v];
    }

    public Iterable<Integer> pathTo(int v) {
        if (!hasPathTo(v)) {
            throw new IllegalStateException("s不能到达v");
        }
        Stack<Integer> stack = new LinkedListStack<>();
        stack.push(v);
        while (edgeTo[v] != s) {
            stack.push(edgeTo[v]);
            v = edgeTo[v];
        }
        stack.push(s);
        return stack;
    }
}

以下图为列，来看看广度优先搜索的运行轨迹

单元测试的代码：

@Test
public void test() {
    Graph graph = new Graph(8);
    graph.addEdge(0, 1);
    graph.addEdge(0, 2);
    graph.addEdge(0, 5);
    graph.addEdge(1, 3);
    graph.addEdge(2, 4);
    graph.addEdge(4, 3);
    graph.addEdge(5, 3);
    graph.addEdge(6, 7);

    BreadthFirstPaths paths = new BreadthFirstPaths(graph, 0);
    System.out.println(paths.hasPathTo(5));
    System.out.println(paths.hasPathTo(2));
    System.out.println(paths.hasPathTo(6));

    paths.pathTo(5).forEach(System.out::print);
    System.out.println();
    paths.pathTo(4).forEach(System.out::print);
    System.out.println();
    paths.pathTo(2).forEach(System.out::print);
    System.out.println();
    paths.pathTo(3).forEach(System.out::print);

}

执行的结果与我们分析的运行轨迹一致

符号图

最近几篇文章一起学习到的图算法都是以数字作为了顶点，是因为数字来实现这些算法会非常的简洁方便，但是在实际的场景中，通常都是使用的字符作为顶点而非数字，比如：地图上的位置、电影与演员的关系。

为了满足实际的场景，我们只需要在数字与字符串的关系做一个映射，此时我们会想到之前文章实现的map(通过二叉树实现map、红黑树实现map、哈希表实现map等等，有兴趣的同学可以去翻翻)，使用Map来维护字符串和数字的映射关系。

public interface SymbolGraph {
    boolean contains(String key); //判断是否存在顶点

    int index(String key); //通过名称返回对应的数字顶点

    String name(int v); //通过数字顶点返回对应的字符名称

    Graph graph();
}

实现的思路：

1. 使用Map来保存字符串-数字的映射，key为字符串，value为数字
2. 使用一个数组来反向映射数字-字符串，数组的下标对应数字顶点，值对应字符串名称

假设构造图的顶点与边是通过字符串来表示的，如：a,b,c,d\nb,a,h,l,p\ng,s,z 使用\n分隔的每段第一个字符串表示顶点v，后面的表示与顶点v相连的相邻顶点；

实际的过程可以根据具体情况来确定，不一定非得这种字符串，可以来源于数据库，也可以来源于网路的请求。

代码实现如下：

public class SymbolGraph {
    private Map<String, Integer> map = new RedBlack23RedBlackTreeMap<>();
    private String[] keys;
    private Graph graph;

    public SymbolGraph(String text) {
        Arrays.stream(text.split("\n")).forEach(line -> {
            String[] split = line.split(",");
            for (int i = 0; i < split.length; i++) {
                map.put(split[i], i);
            }
        });

        this.keys = new String[map.size()];
        map.keys().forEach(key -> {
            this.keys[this.map.get(key)] = key;
        });

        this.graph = new Graph(this.keys.length);
        Arrays.stream(text.split("\n")).forEach(line -> {
            String[] split = line.split(",");
            int v = this.map.get(split[0]);
            for (int i = 1; i < split.length; i++) {
                this.graph.addEdge(v, this.map.get(split[i]));
            }
        });
        
    }

    public boolean contains(String key) {
        return map.contains(key);
    }

    public int index(String key) {
        return map.get(key);
    }

    public String name(int index) {
        return this.keys[index];
    }

    public Graph graph() {
        return this.graph;
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(Arrays.toString("323\n2323".split("\n")));
    }
}

---

文中所有源码已放入到了github仓库:
https://github.com/silently9527/JavaCore

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