复杂度分析
我们都知道，数据结构和算法本身解决的是“快”和“省”的问题，即如何让代码运行得更快，如何让代码更省存储空间。所以，执行效率是算法一个非常重要的考量指标。那如何来衡量你编写的算法代码的执行效率呢？这里就要用到我们今天要讲的内容：时间、空间复杂度分析。其实，只要讲到数据结构与算法，就一定离不开时间、空间复杂度分析。
所以复杂度分析是整个算法学习的精髓，只有掌握了它，才能掌握数据结构和算法。
为什么需要复杂度分析？
你可能会有些疑惑，我把代码跑一遍，通过统计、监控，就能得到算法执行的时间和占用的内存大小。为什么还要做时间、空间复杂度分析呢？这种分析方法能比我实实在在跑一遍得到的数据更准确吗？
这种评估算法执行效率的方法当然是可以的，但是，这种统计方法有非常大的局限性。
1. 测试结果非常依赖测试环境
测试环境中硬件的不同会对测试结果有很大的影响。
2. 测试结果受数据规模的影响很大
我们以排序算法来分析，对同一个排序算法，待排序数据的有序度不一样，排序的执行时间就会有很大的差别。
所以，我们需要一个不用具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执行效率的方法。这就是时间、空间复杂度分析方法。
大 O 复杂度表示法
在算法领域，同一个问题可以有不同的算法解决(比如各种排序算法)，既然这样，那不同的算法之间肯定有优劣之分，如何评价呢？
最简单的评价方法是把两个算法拉过来比谁解决问题的速度快，谁的执行时间短，谁的执行次数少。
给定两个算法 A 和 B，问题规模为 n，那么执行次数分别为 CA = f(n)，CB = g(n)。现在将比较两个算法的执行次数的问题转换为比较两个函数 f(n)，g(n) 的问题。那比较两个函数的什么性质呢？当然是比较随着问题规模 n 增大，执行次数的增加情况，也就是 f(n)，g(n) 的增长情况。
要比较两个函数的增长情况，最好的办法是比较函数的一阶导，这样最精确，但是考虑到很多时候只需要大体了解算法的优劣就可以了，所以我们就直接考察对增长速度影响最大的一项，这一项就是函数的最高阶数。为了说明最高阶数对函数增长影响最明显，我们看幅图：
图中 4 条曲线分别表示 4 种不同的执行次数表达式，从图中可以看出，只要最高项的阶数相同，4 种表达式值受其他项的影响很小，随着 n 增大，几乎可以忽略不计，甚至可以忽略与最高项相乘的常数。
所以我们可以只考虑最高项的阶数来简化问题，达到估算的目的，大 O 符号就是用来表示这种情况的。
从维基百科上摘抄了一段关于大 O 符号的定义，如下所示：
大 O 符号（英语：Big O notation），又称为渐进符号，是用于描述函数渐近行为的数学符号。更确切地说，它是用另一个（通常更简单的）函数来描述一个函数数量级的渐近上界。在数学中，它一般用来刻画被截断的无穷级数尤其是渐近级数的剩余项；在计算机科学中，它在分析算法复杂性的方面非常有用。
通过上述分析我们可以知道 T(n = O(f(n))，其中，T(n) 就是算法的时间复杂度，f(n) 表示执行与算法优劣和问题规模有关的执行数，O() 表示一种运算符号，f(n) = 2n^2 + 1，O(f(n)) = O(n^2)。
时间复杂度分析
前面介绍了大 O 时间复杂度的由来和表示方法。现在我们来看下，如何分析一段代码的时间复杂度？
1. 只关注循环执行次数最多的一段代码
通过上面的知识，我们知道大 O 这种复杂度表示方法只是表示一种变化趋势。我们通常会忽略掉公式中的常量、低阶、系数，只需要记录一个最大阶的量级就可以了。所以，我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。这段核心代码执行次数的 n 的量级，就是整段要分析代码的时间复杂度。
例子：
public int cal1(int n) {
int sum = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
sum = sum + i;
}
return sum;
}以这段代码来说，我们假设每行代码的执行时间都一样，为 t，在这个假设上的基础之上，第 2、6 行代码分别需要 1 个 t 的执行时间，第 3、4 行都运行了 n 遍，所以需要 2n t 的执行时间，所以这段代码总的执行时间就是 (2n+2) t，所以 T(n) = O(f(n)) = O(2n + 2) = O(n)，可以看出真正对时间复杂度有影响的就是循环执行次数最多的一段代码。
2. 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
例子：
public int cal2(int n) {
int sum_1 = 0;
int p = 1;
for (; p < 100; ++p) {
sum_1 = sum_1 + p;
}
int sum_2 = 0;
int q = 1;
for (; q < n; ++q) {
sum_2 = sum_2 + q;
}
int sum_3 = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for (; i <= n; ++i) {
j = 1;
for (; j <= n; ++j) {
sum_3 = sum_3 + i * j;
}
}
return sum_1 + sum_2 + sum_3;
}这个代码分为三部分，分别是求 sum_1、sum_2、sum_3。我们可以分别分析每一部分的时间复杂度，然后把它们放到一块儿，再取一个量级最大的作为整段代码的复杂度。
第一段的时间复杂度是多少呢？这段代码循环执行了 100 次，所以是一个常量的执行时间，跟 n 的规模无关。
那第二段代码和第三段代码的时间复杂度是多少呢？答案是 O(n) 和 O(n^2)，我们可以很容易的就看出来了。
综合这三段代码的时间复杂度，我们取其中最大的量级。所以，整段代码的时间复杂度就为 O(n^2)。也就是说：总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。那我们将这个规律抽象成公式就是：
如果 T1(n) = O(f(n))，T2(n) = O(g(n))；那么 T(n) = T1(n) + T2(n) = max(O(f(n)), O(g(n))) = O(max(f(n), g(n))).
3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
上面我们讲了一个复杂度分析中的加法法则，这儿还有一个乘法法则。类比一下，你应该能“猜到”公式是什么样子的吧？
如果 T1(n) = O(f(n))，T2(n) = O(g(n))；那么 T(n) = T1(n) T2(n) = O(f(n)) O(g(n)) = O(f(n) * g(n))。
也就是说，假设 T1(n) = O(n)，T2(n) = O(n^2)，则 T1(n) * T2(n) = O(n^3)。落实到具体的代码上，我们可以把乘法法则看成是嵌套循环。
例子：
public int cal(int n) {
int ret = 0;
int i = 1;
for (; i < n; ++i) {
ret = ret + f(i);
}
}
private int f(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i < n; ++i) {
sum = sum + i;
}
return sum;
}我们单独看 cal() 函数。假设 f() 只是一个普通的操作，那第 4～6 行的时间复杂度就是，T1(n) = O(n)。但 f() 函数本身不是一个简单的操作，它的时间复杂度是 T2(n) = O(n)，所以，整个 cal() 函数的时间复杂度就是，T(n) = T1(n) T2(n) = O(nn) = O(n^2)。
几种常见时间复杂度实例分析
虽然代码千差万别，但是常见的复杂度量级并不多。我稍微总结了一下，这些复杂度量级几乎涵盖了可以接触的所有代码的复杂度量级。
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对于刚罗列的复杂度量级，我们可以粗略地分为两类，多项式量级和非多项式量级。其中，非多项式量级只有两个：O(2n) 和 O(n!)。
我们把时间复杂度为非多项式量级的算法问题叫作 NP（Non-Deterministic Polynomial，非确定多项式）问题。
当数据规模 n 越来越大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时间会无限增长。所以，非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。因此，我们主要来看几种常见的多项式时间复杂度。
1. O(1)
只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长，这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。或者说，一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。
例子：
int i = 1;
int j = 1;
int sum = i + j;这段代码的时间复杂度就是 O(1)，而不是 O(3)。
2. O(logn)、O(nlogn)
对数阶时间复杂度非常常见，同时也是最难分析的一种时间复杂度，我们通过一个例子来说明一下：
例子：
i=1;
while (i <= n) {
i = i * 2;
}根据我们前面讲的复杂度分析方法，第三行代码是循环执行次数最多的。所以，我们只要能计算出这行代码被执行了多少次，就能知道整段代码的时间复杂度了。
从代码中可以看出，变量 i 的值从 1 开始取，每循环一次就乘以 2。当大于 n 时，循环结束。还记得我们高中学过的等比数列吗？实际上，变量 i 的取值就是一个等比数列。如果我把它一个一个列出来，就应该是这个样子的：
<img src="https://p3-juejin.byteimg.com/tos-cn-i-k3u1fbpfcp/43be995cacda4cc8a2450e6e2da6f4df~tplv-k3u1fbpfcp-zoom-1.image" alt="img" style="zoom: 50%;" align = left />
所以，我们只要知道 x 值是多少，就知道这行代码执行的次数了。通过 2^x = n 求解 x 这个问题我们高中应该就学过了，我就不多说了。x = log2n，所以，这段代码的时间复杂度就是 O(log2n)。
现在，我把代码稍微改下，你再看看，这段代码的时间复杂度是多少？
i=1;
while (i <= n) {
i = i * 3;
}根据我刚刚讲的思路，很简单就能看出来，这段代码的时间复杂度为 O(log3n)。
实际上，不管是以 2 为底、以 3 为底，还是以 10 为底，我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。因为在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。而 log3n 和 log2n 之间就差了一个常数倍。
如果你理解了 O(logn)，那 O(nlogn) 就很容易理解了。还记得我们刚讲的乘法法则吗？如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)，我们循环执行 n 遍，时间复杂度就是 O(nlogn) 了。而且，O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。
3. O(m + n)、O(m * n)
我们再来讲一种跟前面都不一样的时间复杂度，代码的复杂度由两个数据的规模来决定。
例子：
int cal(int m, int n) {
int sum_1 = 0;
int i = 1;
for (; i < m; ++i) {
sum_1 = sum_1 + i;
}
int sum_2 = 0;
int j = 1;
for (; j < n; ++j) {
sum_2 = sum_2 + j;
}
return sum_1 + sum_2;
}从代码中可以看出，m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是 O(m + n)。
针对这种情况，原来的加法法则就不正确了，我们需要将加法规则改为：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效：T1(m)T2(n) = O(f(m) f(n))。
空间复杂度分析
前面，我们花了很长时间讲大 O 表示法和时间复杂度分析，理解了前面讲的内容，空间复杂度分析方法学起来就非常简单了。
前面我讲过，时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下，空间复杂度全称就是渐进空间复杂度（asymptotic space complexity），表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。
例子：
void print(int n) {
int i = 0;
int[] a = new int[n];
for (i; i < n; ++i) {
a[i] = i * i;
}
for (i = 0; i < n; ++i) {
print out a[i]
}
}跟时间复杂度分析一样，我们可以看到，第 2 行代码中，我们申请了一个空间存储变量 i，但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。
我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2 )，像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且，空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。
讲完了时间复杂度和空间复杂度，我们再来学习一下跟复杂度相关的几个概念，最好情况时间复杂度（best case time complexity）、最坏情况时间复杂度（worst case time complexity）、平均情况时间复杂度（average case time complexity）、均摊时间复杂度（amortized time complexity）。如果这几个概念你都能掌握，那对你来说，复杂度分析这部分内容就没什么大问题了。
最好、最坏情况时间复杂度
例子：
// n表示数组array的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
int i = 0;
int pos = -1;
for (; i < n; ++i) {
if (array[i] == x)
pos = i;
}
return pos;
}我们很容易就可以看出来，这段代码要实现的功能是，在一个无序的数组（array）中，查找变量 x 出现的位置。如果没有找到，就返回 -1。按照前面的分析方法，这段代码的复杂度是 O(n)，其中，n 代表数组的长度。
我们在数组中查找一个数据，并不需要每次都把整个数组都遍历一遍，因为有可能中途找到就可以提前结束循环了。但是，这段代码写得不够高效。我们可以这样优化一下这段查找代码。
// n表示数组array的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
int i = 0;
int pos = -1;
for (; i < n; ++i) {
if (array[i] == x) {
pos = i;
break;
}
}
return pos;
}这个时候，问题就来了。我们优化完之后，这段代码的时间复杂度还是 O(n) 吗？很显然，咱们前面讲的分析方法，解决不了这个问题。
因为，要查找的变量 x 可能出现在数组的任意位置。如果数组中第一个元素正好是要查找的变量 x，那就不需要继续遍历剩下的 n-1 个数据了，那时间复杂度就是 O(1)。但如果数组中不存在变量 x，那我们就需要把整个数组都遍历一遍，时间复杂度就成了 O(n)。所以，不同的情况下，这段代码的时间复杂度是不一样的。
为了表示代码在不同情况下的不同时间复杂度，我们需要引入三个概念：最好情况时间复杂度、最坏情况时间复杂度和平均情况时间复杂度。
顾名思义，最好情况时间复杂度就是，在最理想的情况下，执行这段代码的时间复杂度。就像我们刚刚讲到的，在最理想的情况下，要查找的变量 x 正好是数组的第一个元素，这个时候对应的时间复杂度就是最好情况时间复杂度。
同理，最坏情况时间复杂度就是，在最糟糕的情况下，执行这段代码的时间复杂度。就像刚举的那个例子，如果数组中没有要查找的变量 x，我们需要把整个数组都遍历一遍才行，所以这种最糟糕情况下对应的时间复杂度就是最坏情况时间复杂度。
平均情况时间复杂度
我们都知道，最好情况时间复杂度和最坏情况时间复杂度对应的都是极端情况下的代码复杂度，发生的概率其实并不大。为了更好地表示平均情况下的复杂度，我们需要引入另一个概念：平均情况时间复杂度，后面我简称为平均时间复杂度。
平均时间复杂度又该怎么分析呢？我们还是借助刚才查找变量 x 的例子来解释。
要查找的变量 x 在数组中的位置，有 n+1 种情况：在数组的 0～n-1 位置中和不在数组中。我们把每种情况下，查找需要遍历的元素个数累加起来，然后再除以 n+1，就可以得到需要遍历的元素个数的平均值(这里我们就不引入概率论的知识了，就默认这 n+1 种情况，出现的概率是一样的)，即：
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我们知道，时间复杂度的大 O 标记法中，可以省略掉系数、低阶、常量，所以，咱们把刚刚这个公式简化之后，得到的平均时间复杂度就是 O(n)。
均摊时间复杂度
均摊时间复杂度，听起来跟平均时间复杂度有点儿像。对于初学者来说，这两个概念确实非常容易弄混。我前面说了，大部分情况下，我们并不需要区分最好、最坏、平均三种复杂度。平均复杂度只在某些特殊情况下才会用到，而均摊时间复杂度应用的场景比它更加特殊、更加有限。
例子：
// array表示一个长度为n的数组
// 代码中的array.length就等于n
int[] array = new int[n];
int count = 0;
void insert(int val) {
if (count == array.length) {
int sum = 0;
for (int i = 0; i < array.length; ++i) {
sum = sum + array[i];
}
array[0] = sum;
count = 1;
}
array[count] = val;
++count;
}这段代码实现了一个往数组中插入数据的功能。当数组满了之后，也就是代码中的 count == array.length 时，我们用 for 循环遍历数组求和，并清空数组，将求和之后的 sum 值放到数组的第一个位置，然后再将新的数据插入。但如果数组一开始就有空闲空间，则直接将数据插入数组。
那这段代码的时间复杂度是多少呢？最理想的情况下，数组中有空闲空间，我们只需要将数据插入到数组下标为 count 的位置就可以了，所以最好情况时间复杂度为 O(1)。最坏的情况下，数组中没有空闲空间了，我们需要先做一次数组的遍历求和，然后再将数据插入，所以最坏情况时间复杂度为 O(n)。
那平均时间复杂度是多少呢？答案是 O(1)。我们还是可以通过前面讲的方法来分析。
假设数组的长度是 n，根据数据插入的位置的不同，我们可以分为 n 种情况，每种情况的时间复杂度是 O(1)。除此之外，还有一种“额外”的情况，就是在数组没有空闲空间时插入一个数据，这个时候的时间复杂度是 O(n)。而且，这 n+1 种情况发生的概率一样，都是 1/(n+1)。所以，我们求得的平均时间复杂度就是：
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至此为止，前面的最好、最坏、平均时间复杂度的计算，理解起来应该都没有问题。但是这个例子里的平均复杂度分析其实并不需要这么复杂，不需要引入概率论的知识。这是为什么呢？我们先来对比一下这个 insert() 的例子和前面那个 find() 的例子，你就会发现这两者有很大差别。
首先，find() 函数在极端情况下，复杂度才为 O(1)。但 insert() 在大部分情况下，时间复杂度都为 O(1)。只有个别情况下，复杂度才比较高，为 O(n)。这是 insert()第一个区别于 find() 的地方。
我们再来看第二个不同的地方。对于 insert() 函数来说，O(1) 时间复杂度的插入和 O(n) 时间复杂度的插入，出现的频率是非常有规律的，而且有一定的前后时序关系，一般都是一个 O(n) 插入之后，紧跟着 n-1 个 O(1) 的插入操作，循环往复。
所以，针对这样一种特殊场景的复杂度分析，我们并不需要像之前讲平均复杂度分析方法那样，找出所有的输入情况及相应的发生概率，然后再计算平均值。
针对这种特殊的场景，我们引入了一种更加简单的分析方法：摊还分析法，通过摊还分析得到的时间复杂度我们起了一个名字，叫均摊时间复杂度。
那究竟如何使用摊还分析法来分析算法的均摊时间复杂度呢？
我们还是继续看在数组中插入数据的这个例子。每一次 O(n) 的插入操作，都会跟着 n-1 次 O(1) 的插入操作，所以把耗时多的那次操作均摊到接下来的 n-1 次耗时少的操作上，均摊下来，这一组连续的操作的均摊时间复杂度就是 O(1)。这就是均摊分析的大致思路。你都理解了吗？
均摊时间复杂度和摊还分析应用场景比较特殊，所以我们并不会经常用到。为了方便你理解、记忆，我这里简单总结一下它们的应用场景。如果你遇到了，知道是怎么回事儿就行了。
对一个数据结构进行一组连续操作中，大部分情况下时间复杂度都很低，只有个别情况下时间复杂度比较高，而且这些操作之间存在前后连贯的时序关系，这个时候，我们就可以将这一组操作放在一块儿分析，看是否能将较高时间复杂度那次操作的耗时，平摊到其他那些时间复杂度比较低的操作上。而且，在能够应用均摊时间复杂度分析的场合，一般均摊时间复杂度就等于最好情况时间复杂度。
尽管很多数据结构和算法书籍都花了很大力气来区分平均时间复杂度和均摊时间复杂度，但其实均摊时间复杂度就是一种特殊的平均时间复杂度，我们没必要花太多精力去区分它们。你最应该掌握的是它的分析方法，摊还分析。至于分析出来的结果是叫平均还是叫均摊，这只是个说法，并不重要。
小结
复杂度也叫渐进复杂度，包括时间复杂度和空间复杂度，用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系，可以粗略地表示，越高阶复杂度的算法，执行效率越低。常见的复杂度并不多，从低阶到高阶有：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n^2 )、O(2^n)、O(n!)。
同时我们还学习了几个复杂度分析相关的概念，分别有：最好情况时间复杂度、最坏情况时间复杂度、平均情况时间复杂度、均摊时间复杂度。之所以引入这几个复杂度概念，是因为，同一段代码，在不同输入的情况下，复杂度量级有可能是不一样的。
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