本篇内容，是本人查阅国内外各类作者的文章和视频后，对此作出的总结。如果文章有错漏的地方，欢迎大家指正。
这篇文章的主要内容为，推导出在关系型数据库中，为何常选用B+树作为索引实现。
磁盘如何存储数据
对于机械硬盘，磁盘内至少包含一个盘片。盘片上有一圈圈同心圆，相邻两个同心圆围成每个环形被称为磁道(track)，也就是图片中粉色部分。同时，从磁盘转轴往外辐射出一条条辐线，辐线与磁道相交的地方，形成一个个弧形段，被称为扇区(Sector)，也就是图片中粉色环和蓝色扇形相交的部分。如果机械硬盘包含多个盘片，则不同盘片上同一位置的磁道组成一个柱面（Cylinder），不过这个概念对于这篇文章来说不太重要。
重点是，扇区是磁盘读写的最小单位，这是一个物理单位，通常来说，一个扇区的大小是512B，这取决于机械硬盘的制造商。不过尽管硬盘读写的最小单位是扇区，但对于操作系统来说，读写硬盘的最小单位是块（Block）/簇（Cluster），这是一个逻辑单位，块是Linux的叫法，簇是Windows的叫法。一个块包含多个连续的扇区，这个包含的扇区数是可调的，每个分区的块大小可以是不同的，通常为8个，也就是一个块的大小为4kiB。之所以操作系统要增加块这个概念，原因很明显是为了将硬盘的物理设计和操作系统的逻辑设计解耦，也给予用户更多的选择空间。因为对于机械硬盘来说，随机读取不同磁道上扇区是非常缓慢的，但读取连续的扇区的速度是非常快的。所以，一个块包含越多扇区，每次能读取到的内容就会更多。但是因为块是操作系统中最小的读写单位，所以，一个文件即使什么内容也没有，也将会占用一个块。若系统中有很多小文件，块的大小设计得非常大，就会浪费很多磁盘空间。
那程序是如何从硬盘读取内容的呢？程序读取数据只能够通过内存读取，而内存也有最小的读写单位，就是页（Page），通常一个页的大小是4kiB。程序要读取文件，操作系统要从硬盘上读取整数块的数据，填入整数页的内存中，供程序使用。之所以要增加页这个概念，原因很明显是为了屏蔽不同分区上块的大小的不同，对程序读取文件造成的影响。
了解上面的前提后，我们知道一个事实，程序通过操作系统从磁盘读取一个字节，至少需要读取一个块（4kiB)。硬盘上的一个字节，可以表示为块号+块内偏移量。
实际上，对于InnoDB存储引擎来说，读写是按照“索引页节点”来的。此“页”并非操作系统中的“页”，而是存储引擎所使用的数据结构，通常设置为16kiB，你可以在MySQL内通过SHOW VARIABLES LIKE 'innodb_page_size%'知道当前的页设置大小。不过这并不影响整篇文章的结论推导。
为何需要使用索引
现在我们假设有这样一张数据表，它包含id，姓名两个字段，数据大小如下。
| 字段名 | 字段大小(B) |
|---|---|
| id | 4 |
| name | 1020 |
嗯，名字字段的大小为1020B，仅仅是为了方便计算。假设我们这张表有100条数据。
| id | name |
|---|---|
| 1 | yizdu |
| 2 | udziy |
| ... | ... |
| 100 | izdyu |
那我们需要存储它使用到多少个硬盘块呢？很明显，(100*(1020+4))/4096=25。也就是25个块。
那当我们从硬盘中读取某个id值对应的姓名，那该怎么办呢？一个块内的扇区在硬盘碟片上是连续的，但一个文件被分成一个个块储存在碟片上时，是随机的，我们没办法通过每条数据的大小，在硬盘上直接跳转。所以，如果我们要找到某个id，就需要从头开始，读取至少1个，至多25个块。
这种情况就像读取一本没有目录的书一样，每次都需要遍历一遍才能找到所需内容，为了避免这种情况，我们可以给像给书加上目录一样，给表加上索引。
我们现在设计一张索引表，包含id和指针，这里我们假设指针大小为6，其实这也是innodb存储引擎的指针大小。
| 字段名 | 字段大小(B) |
|---|---|
| id | 4 |
| pointer | 6 |
然后我们就构建出下面这张表，很明显，这张表的大小为1000B，只需使用一个块就能存储。
| id | pointer |
|---|---|
| 1 | 块号+偏移量 |
| 2 | 块号+偏移量 |
| ... | ... |
| 100 | 块号+偏移量 |
有了这张表后，我们只需要读取一张索引表，然后再通过指针指向的磁盘块号和偏移量即可找到目的数据。只需要读取2个块。
顺便一提，这种索引表存储数据地址的方式也叫非聚簇索引，是MyISAM存储引擎所采用的方案。
如果索引表也很大怎么办
假设我们这个表有1万条数据，那索引表就会占用25个块。那又没有什么办法提高呢？那我们可以为索引再建立一个索引。
索引的索引，可以设计为，某个范围内的id所对应的磁盘块号。
| 字段名 | 字段大小(B) |
|---|---|
| id | 4 |
| pointer | 6 |
比如，在我们索引表中，每条记录占用10B，所以一个块可以存409条索引。我们可以设计这样的索引的索引，id为1-409的跳转到块111，id为410-818的跳到块222，以此类推，我们只需要读取索引的索引，根据id即可跳转到相应范围的索引表上，不需要完整读取整个索引表。
| id | pointer |
|---|---|
| 1 | 块号 |
| 410 | 块号 |
| ... | ... |
| 10000 | 块号 |
如果用图表示的话就是大概这样，画得不好，凑合着看吧。那我们这张索引的索引，会占用多少空间呢？很明显，只需要((10000/409)*10)/4096=0.0596...。所以，我们最后读取表中的数据，只需要读取3个块，效率大大提升了。
如何让建立索引、索引的索引的这个过程更加自动化
如果索引的索引也很大呢，那很明显是需要设计索引的索引的索引了，但是如何让这个过程更加智能和自动化呢？
其实从上面那幅图，我们大概可以看出些端倪。需要获取某个数据，要从最上层的索引开始比较查找，最后深入到最下层节点，即可获得相应数据。这很明显就是一种树。
那么，该选择什么类型的树比较好呢？常见的用于搜索的树，有二叉搜索树（BST），AVL树，红黑树，B树，B+树。
其实从上面的推论，我们可以看出，优化索引的目的，最终是为了减少磁盘读取的块数。因为磁盘IO对于CPU运算、内存读取来说，都太慢了，是数据库的瓶颈。而对于常见的各种二叉树，他们每个节点只能有两个子节点，如果使用二叉树构建索引树，那将其存储到磁盘后，每个块只能包含一个索引键。这会带来两个问题，1，一个块的空间不止可以存储一个索引键，块内其他的空间被浪费了。2，这棵索引树会比较高，则将会导致较多的硬盘读取次数。
为什么一个块不能存储多个节点？
网络上很少有人说这个事情，我在 stackoverflow 发问得到回答是。其实是可以的，不过这显然会有性能问题。最核心的问题在与，无论如何，系统每次在磁盘上读取文件都要读取一个块，既然如此，那我们就应该尽可能地让每一次读取包含更多有意义的数据。而一个块储存多个节点的问题在与。比如我们用二叉树做索引，顺序填满一个块，随着数据库的使用，会有不同的节点被删除，有用节点会散落到不同的块中。而你每次仍然需要读一整个块，则将会读到不需要的节点或空闲的空间，而且磁盘读取次数也很高。
所以，为了减少磁盘读取次数，要尽可能降低树高，而降低树高就需要用到多路搜索树，常见的多路搜索树有B树和B+树。
B树
这里我们先说一下B树，后面再来谈论B+树。B树是一种多路平衡搜索树。
关于一棵 m 阶级B树，有这样几个定义：
- 每个节点最多能有m棵子树
- 每个非叶非根节点，至少有
celi(m/2)棵子树（celi为向上取整） - 如果根节点不同时是叶节点，那至少有2棵子树
- 有k个子树的节点，拥有k-1个关键字
- 所有叶节点都在同一层
我们可以去这个网站Data Structure Visualizations，观察B树的插入、删除、分裂和合并节点的过程。这里我们并不具体讨论B树的分裂、合并节点算法。
这里我们有一棵3阶B树，它是这样的。我们能明显看出，因为分叉多了，整棵树可以变得更矮。如果每个节点代表一个硬盘块，可以看出，需要读取的磁盘块数最少1块，最多3块。同时所有叶节点都在同一层，这意味着不会有某个查询，需要多于logM(N)的查询时间。这里的M是B树上每个节点的平均叉数，N为数据量,这结论可以从二叉搜索树推导而出。
B+树
B+树是B树的升级版。关于B+树的定义，实际上在不同教材、书籍里，细节上会有不同。考虑到B树及其各种变体（B+,B*树）本就是为了在工程上实践使用的，不仅不同教材上的描述不同，不用数据库存储引擎也会有各种变体实现。因此缺少严格的学术定义。
关于一棵 m 阶级B+树，有这样几个定义：
- 每个节点最多能有m棵子树
- 每个非叶非根节点，至少有
celi(m/2)棵子树（celi为向上取整） - 如果根节点不同时是叶节点，那至少有2棵子树
- 所有叶节点都在同一层
目前为止这都和B树的定义一样 - 所有的数据，都储存于叶节点。且按照顺序排列，通过指针相连接
- 所有非叶节点，只是作为索引，并不储存数据
接下来是比较有争议和让人困惑的部分：
对于国外的大部分教材来说，有k棵子树的节点，拥有k-1个关键字。这和B树很相似，很容易理解。
对于InnoDB引擎的索引树实现，和国内的大部分教材来说（比如严蔚敏的《数据结构》）来说，有k棵子树的节点，拥有k个关键字。同时，每个非叶节点包含其子树的最大（或最小）关键字。这种B+树是长这样子的。这种设计的B+树，本人其实不太理解它的构建过程细节。考研里也仅要求了解其基本概念和性质，缺少相关教材描述。不过这些差异并不是大问题，不影响接下来的结论推导。为了方便讲解和画图，下面我仍然使用国外教材定义的B+树。
这里我们有一棵3阶B树，它是这样的。可以看出，因为所有数据都在叶节点，因此访问任何一个数据都需要访问logM(N)次（M仍是平均分叉数、N是数据量）。同时，因为非叶节点都只是索引，所有的数据都在叶节点上，因此有一定的数据冗余，造成某些情况下，同样的数据量和阶数，B+树会比B树高。
为什么选择B+树
似乎B+树看上去比B树性能要差，那为何它是数据库索引的常见实现？
我们关注B树和B+树最大的不同点，即
- 所有的数据，都储存于叶节点。且按照顺序排列，通过指针相连接
- 所有非叶节点，只是作为索引，并不储存数据
对于5。因为所有的数据都被顺序地排列于叶节点层上，如果对B+树索引进行范围查询和全表扫描，将会是很容易的事情。而对于B树，需要进行中序遍历，这将可能造成更多的随机IO，以及更复杂的算法实现。
对于6。这个是最关键的一点。因为B+树中非叶节点只是作为索引，不包含数据。所以对于每个磁盘来说，使用B+树，每个块可以存入更多的关键字，这将使得索引树变得更矮。
假设B树和B+树都使用4字节的主键和6字节的指针，为了方便计算，关键字数和子树数相同。那在一个4kiB的磁盘块里。B+树能存4096/(4+6)=409条索引，B树因为每个节点包含数据，因此至少需要一个指向数据的指针，所以一个块只能存4096/(4+6+6)=256条索引。能看出，使用B+树，索引树可以变得更加矮，效率大概比B树高了一倍。因此，即使理论上B+树在同阶情况下，树可能比B树高，但实际储存到磁盘上，B+树能获得更大的阶数。
此外，B+树的查询复杂度是稳定logM(N)，不同于B树的最少1，最大logM(N)，可能有读者对此会有疑问，为什么需要有稳定性。其实本人也有这样的疑问，个人参考各个博主的观点和自己的思考后。个人认为最大的收益在于数据库管理系统的查询优化。大部分数据管理系统，比如MySQL，会对查询进行隐式的优化，决定是否走索引，走哪个索引。进行一条查询语句，可能有多种查询方式，MySQL会在多种方式中，比较各种成本花销，最后选择一种它认为最佳的方案。而B+树的稳定查询复杂度，使得计算成本变得可预期。
额外的知识点
InnoDB 中，主键索引树通常有多高？
在InnoDB中，储存节点的单位并不是磁盘块，而是InnoDB所设计的“页”。同时，InnoDB使用的是聚簇索引，即叶子节点包含数据表中整行的数据。文章开头讲过，这个页大小通常是16kiB。而对于常见的INT型id主键，需4个字节。InnoDB中指针需要6个字节。
因此，对于以INT作为主键的情况下，假设每条数据大小为1kiB。InnoDB每个页能存1638条索引，16条数据。所以，树高为1时，能存16条数据，这个情况下，只有一个页充当根或叶节点。树高为2时（只有根和叶节点），能存1638*16条数据。树高为3时，能存1638*1638*16条数据，树高为4时，能存1638*1638*1638*16条数据。当然这个是每个节点都达到最大阶数的情况下的理论值，实际情况会小一点，不过无关紧要，因为能看出树高为3时，就已经能存储4千万条数据了。
InnoDB 每次搜索索引，需要多少次磁盘 IO
树高多少，就需要读取多少次节点。大部分博客都会说硬盘IO次数等同于树高，但这只会在树节点大小等同于磁盘块数的情况下成立。InnoDB中，数据页大小为16kiB，根页常驻内存。操作系统中常见的块大小为4kiB。因此理论上，真正的磁盘IO数量应该为(树高-1)*(数据页大小/块大小），-1是因为根页常驻内存。
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