【图论搜索专题】如何使用「多源 BFS」降低时间复杂度

题目描述

这是 LeetCode 上的「1162. 地图分析」 ，难度为「中等」。

你现在手里有一份大小为  的 网格 ，上面的每个 单元格 都用  和  标记好了。

其中  代表海洋， 代表陆地，请你找出一个海洋单元格，这个海洋单元格到离它最近的陆地单元格的距离是最大的。

我们这里说的距离是「曼哈顿距离」： 和  这两个单元格之间的距离是 。

如果网格上只有陆地或者海洋，请返回 。

示例 1：

输入：[[1,0,1],[0,0,0],[1,0,1]]

输出：2

解释：海洋单元格 (1, 1) 和所有陆地单元格之间的距离都达到最大，最大距离为 2。

示例 2：

输入：[[1,0,0],[0,0,0],[0,0,0]]

输出：4

解释：海洋单元格 (2, 2) 和所有陆地单元格之间的距离都达到最大，最大距离为 4。

提示：

• 1 <= grid.length == grid[0].length <= 100
• grid[i][j] 不是  就是 

单源 BFS

通常我们使用 BFS 求最短路，都是针对如下场景：从特定的起点出发，求解到达特定终点的最短距离。

这是一类特殊的「单源最短路」问题：本质是在一个边权为 的图上，求从特定「源点」出发到达特定「汇点」的最短路径。

对于本题，如果套用「单源最短路」做法，我们需要对每个「海洋」位置做一次 BFS：求得每个「海洋」的最近陆地距离，然后在所有的距离中取 作为答案。

单次 BFS 的最坏情况需要扫描完整个矩阵，复杂度为 。

同时，最多有 个海洋区域需要做 BFS，因此这样的做法复杂度为 ，并且 可直接取满。

PS. 数据范围为 ，理论上是一定会超时，但本题数据较弱，Java 2021/06/28 可过。

一些细节：为了方便，我们在使用哈希表记录距离时，将二维坐标 转化为对应的一维下标 作为 key 进行存储。

代码：

class Solution {
    int n;
    int[][] grid;
    public int maxDistance(int[][] _grid) {
        grid = _grid;
        n = grid.length;
        int ans = -1;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (grid[i][j] == 0) {
                    ans = Math.max(ans, bfs(i, j));
                }
            }
        }
        return ans;
    }
    // 单次 BFS：求解海洋位置 (x,y) 最近的陆地距离
    int bfs(int x, int y) {
        int[][] dirs = new int[][]{{1,0},{-1,0},{0,1},{0,-1}};
        Deque<int[]> d = new ArrayDeque<>();
        Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
        d.addLast(new int[]{x, y});
        map.put(x * n + y, 0);
        while (!d.isEmpty()) {
            int[] poll = d.pollFirst();
            int dx = poll[0], dy = poll[1];
            int step = map.get(dx * n + dy);
            if (grid[dx][dy] == 1) return step;
            for (int[] di : dirs) {
                int nx = dx + di[0], ny = dy + di[1];
                if (nx < 0 || nx >= n || ny < 0 || ny >= n) continue;
                int key = nx * n + ny;
                if (map.containsKey(key)) continue;
                d.addLast(new int[]{nx, ny});
                map.put(key, step + 1);
            }
        }
        return -1;
    } 
}

• 时间复杂度：
• 空间复杂度：

多源 BFS

这其实还是道「多源 BFS」入门题。

与「单源最短路」不同，「多源最短路」问题是求从「多个源点」到达「一个/多个汇点」的最短路径。

在实现上，最核心的搜索部分，「多源 BFS」与「单源 BFS」并无区别。

并且通过建立「虚拟源点」的方式，我们可以「多源 BFS」转换回「单源 BFS」问题。

什么意思？

以本题为例，题面要我们求每个「海洋」区域到最近的「陆地」区域的最大值。

我们可以将「源点/起点」和「汇点/终点」进行反转：从每个「陆地」区域出发，多个「陆地」区域每次同时向往扩散一圈，每个「海洋」区域被首次覆盖时所对应的圈数，就是「海洋」区域距离最近的「陆地」区域的距离。

不过，这是如何与「单源 BFS」联系起来的呢？

我们可以想象存在一个「虚拟源点」，其与所有「真实源点」（陆地）存在等权的边，那么任意「海洋」区域与「最近的陆地」区域的最短路等价于与「虚拟源点」的最短路：

实现上，我们并不需要真的将这个虚拟源点建立出来，只需要在 BFS 前将所有的「真实源点」进行入队即可。

这个过程相当于从队列中弹出「虚拟源点」，并把它所能到点（真实源点）进行入队，然后再进行常规的 BFS 。

一些细节：实现上为了方便，在进行常规 BFS 时，如果一个「海洋」区域被访问到，说明其被离它「最近的陆地」覆盖到了，修改值为最小距离。这样我们只需要考虑那些值仍然为 的「海洋」区域即可（代表尚未被更新）。

代码：

class Solution {
    public int maxDistance(int[][] grid) {
        int n = grid.length;
        Deque<int[]> d = new ArrayDeque<>();
        Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (grid[i][j] == 1) {
                    d.add(new int[]{i, j});
                    map.put(i * n + j, 0);
                }
            }
        }
        int ans = -1;
        int[][] dirs = new int[][]{{1,0},{-1,0},{0,1},{0,-1}};
        while (!d.isEmpty()) {
            int[] poll = d.poll();
            int dx = poll[0], dy = poll[1];
            int step = map.get(dx * n + dy);
            for (int[] di : dirs) {
                int nx = dx + di[0], ny = dy + di[1];
                if (nx < 0 || nx >= n || ny < 0 || ny >= n) continue;
                if (grid[nx][ny] != 0) continue;
                grid[nx][ny] = step + 1;
                d.add(new int[]{nx, ny});
                map.put(nx * n + ny, step + 1);
                ans = Math.max(ans, step + 1);
            }
        }
        return ans;
    }
}

• 时间复杂度：
• 空间复杂度：

总结

今天我们介绍了「多源 BFS」，通过建立「虚拟源点」，我们可以将其转化回「单源 BFS」问题。

实现上我们只需要将所有的「真实源点」进行入队，然后再进行 BFS 即可。

看起来两者区别不大，但其本质是通过源点/汇点转换，应用常规的 Flood Fill 将多次朴素 BFS 转化为一次 BFS，可以有效降低我们算法的时间复杂度。

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1162 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先将所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSou... 。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。