Jordan 矩阵有啥用呢?

dylanqyuen

用于判断两个矩阵是否相似。

判定两个矩阵是否相似不是件容易的事,即使他们有相同的特征多项式、迹和行列式,他们仍然可能不相似。

那么我们的想法是:如果能将给定的两个矩阵A,B通过相似性转换成同一类矩阵,那么他们必然是相似的。

而由于种种原因直接寻找对角矩阵或者上三角矩阵在实际操作中都或多或少有一些问题,

因此我们的想法是:寻找介于对角矩阵和上三角矩阵之间的一类矩阵,这就是Jordan矩阵,Jordan矩阵有如下性质,使得我们判定矩阵相似变得容易起来:

两个Jordan矩阵相似,当且仅当他们有相同的对角分块(不计排列次序),那么这两个Jordan矩阵相似。

因此,我们想要判定两个矩阵是否相似就等价于做这件事:

如果两个矩阵 A,B 可以相似于两个Jordan矩阵,且这两个Jordan矩阵相似,那么矩阵A,B也相似。

参考文献:

R. A. Horn, C. R. Johnson.《Matrix Analysis》

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