算法(7)-差分数组

差分数组

问题背景

如果给你一个包含5000万个元素的数组，然后会有频繁区间修改操作，那什么是频繁的区间修改操作呢？比如让第1个数到第1000万个数每个数都加上1，而且这种操作时频繁的。

此时你应该怎么做？很容易想到的是，从第1个数开始遍历，一直遍历到第1000万个数，然后每个数都加上1，如果这种操作很频繁的话，那这种暴力的方法在一些实时的系统中可能就拉跨了。

因此，今天的主角就出现了——差分数组。

差分数组原理

比如我们现在有一个数组d，d={0,2,5,4,9,7,10,0}

index	0	1	2	3	4	5	6	7
d[i]	0	2	5	4	9	7	10	0

那么差分数组是什么呢？

其实差分数组本质上也是一个数组，我们暂且定义差分数组为d，差分数组f的大小和原来d数组大小一样，而且f[i]=d[i]-d[i-1] (i≠0)。

它的含义是什么？就是原来数组i位置上的元素和i-1位置上的元素作差，得到的值就是d[i]的值。

所以，例子中的arr数组其对应的差分数组值如下图所示。

index	0	1	2	3	4	5	6	7
d[i]	0	2	5	4	9	7	10	0
f[i]	0	2	3	-1	5	-2	3	-10

那么构造了这么个玩意有什么用呢？难道是来浪费宝贵的内存空间的？嗯，确实是来浪费宝贵的内存了，但是却换了时间上的高效。

现在我们有这么一个区间修改操作，即在区间1~4上，所有的数值都加上3.

index	0	1	2	3	4	5	6	7
d[i]	0	2+3	5+3	4+3	9+3	7	10	0
f[i]	0	2+3	3	-1	5	-2-3	3	-10

由上面的表格可以知道，我们不要傻傻地遍历arr数组的[1，4]范围，然后再分别给每个值加上3，我们此时更改差分数组d即可。

显而易见，差分数组d在[2，4]范围内的值都不用改变，只需要改变差分数组位置1和位置5的值即可，即f[1]=f[1]+3，而f[5]=f[5]-3，其余不变，为什么呢？因为差分数组的定义——f[i]=d[i]-d[i-1]

现在，我们如何根据差分数组f来推测d中某一个位置的值呢？

比如，此时，我们想知道d[1]的值，我们不能直接通过d[1]得到原来的值，因为在区间修改的操作中我们并没有修改d的值，因此我们必须从前往后遍历递推，由于f[0]=d[0]-0(我们定义d[0]的前一个数为0)，那么d[0]=f[0]+0，又由于f[1]=d[1]-d[0]=5，那么d[1]=5+f[0]。以此类推，由于f[2]=d[2]-d[1]，所以d[2]=3+f[1]。

差分数组定义

对于已知有n个元素的离线数列d，我们可以建立记录它每项与前一项差值的差分数组f，显然有：

$$ f[i] = \begin{cases} d[i]; (i=0)\\ d[i]-d[i-1]; (1<=i<n)\\ \end{cases} $$

差分数组简单性质

(1)计算数列各项的值：数列第i项的值是可以用差分数组的前i项的和计算的，即前缀和。
(2)计算数列每一项的前缀和：第i项的前缀和即为数列前i项的和，那么推导可知:

$$ SUM_x=\sum_{i=1}^x{d_x}={\sum_{i=1}^x}{\sum_{j=1}^x{f_j}}=\sum_{i=1}^x{(x-i+1)*f_i} $$

即可用差分数组求出数列前缀和；

差分数组用途

1.快速处理区间加减操作：

假如现在对数列中区间[L,R]上的数加上x，我们通过性质(1)知道，第一个受影响的差分数组中的元素为f[L],即令f[L]+=x，那么后面数列元素在计算过程中都会加上x；最后一个受影响的差分数组中的元素为f[R],所以令f[R+1]-=x，即可保证不会影响到R以后数列元素的计算。这样我们不必对区间内每一个数进行处理，只需处理两个差分后的数即可；

2.询问区间和问题：

由性质(2)我们可以计算出数列各项的前缀和数组sum各项的值；那么显然，区间[L,R]的和即为ans=sum[R]-sum[L-1];

差分数组用途应用

1.题目

leetcode 1109. 航班预订统计

2.解法

class Solution {
    public int[] corpFlightBookings(int[][] bookings, int n) {
        int[] nums = new int[n];
        for (int[] booking : bookings) {
            nums[booking[0] - 1] += booking[2];
            if (booking[1] < n) {
                nums[booking[1]] -= booking[2];
            }
        }
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            nums[i] += nums[i - 1];
        }
        return nums;
    }
}