Leetcode 322 零钱兑换

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：

输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1

示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

示例 4：

输入：coins = [1], amount = 1
输出：1

示例 5：

输入：coins = [1], amount = 2
输出：2

解题思路

这道题有些人可能会想到贪心法，优先用面值大的硬币去凑，但是贪心无法获得最优解。例如下面这个例子：

int[] coins = {1, 2, 5, 7, 10};
int amount = 14;

假如用贪心法，那么首先肯定是用面值为 10 的硬币，然后还需两个面值为 2 的硬币，总共需要 3 个硬币。但事实上，只需要两个面值为 7 的硬币就能凑出 14 的金额。因此这道题需要用动态规划的思想。

从下面这个表格可以看出动态规划的思路，对于需要拼凑的金额 i，遍历硬币面值，找到面值比金额低的硬币 coins[j] ，然后再去看 dp 数组中 dp[i - coins[j]] 是否有最优解，把所有可能的情况都列出，找最小的即可。整个过程从 1 开始不断迭代，一直迭代到需要的金额即可。

金额	可以凑出的情况	最优解
0	-	0
1	1	1（使用一个面值为 1 的硬币）
2	2	1（使用一个面值为 2 的硬币）
3	1 + dp[2], 2 + dp[1]	2（都是最优解）
4	1 + dp[3], 2 + dp[2]	2（2 + dp[2]）
5	5	1（使用一个面值为 5 的硬币）
6	1 + dp[5], 2 + dp[4], 5 + dp[1]	2（1 + dp[5] 或者 5 + dp[1]）
7	7	1（使用一个面值为 7 的硬币）
8	1 + dp[7], 2 + dp[6], 5 + dp[3], 7 + dp[1]	2（1 + dp[7] 或者 7 + dp[1]）
9	1 + dp[8], 2 + dp[7], 5 + dp[4], 7 + dp[2]	2（2 + dp[7] 或者 7 + dp[2]）
10	10	1（使用一个面值为 10 的硬币）
11	1 + dp[10], 2 + dp[9], 5 + dp[6], 7 + dp[4], 10 + dp[1]	2（1 + dp[10] 或者 10 + dp[1]）
12	1 + dp[11], 2 + dp[10], 5 + dp[7], 7 + dp[5], 10 + dp[2]	2（2 + dp[10] 或者 5 + dp[7] 或者 7 + dp[5] 或者 10 + dp[2]）
13	1 + dp[12], 2 + dp[11], 5 + dp[8], 7 + dp[6], 10 + dp[3]	3（都是最优解）
14	1 + dp[13], 2 + dp[12], 5 + dp[9], 7 + dp[7], 10 + dp[4]	2（7 + dp[7]）

参考代码

import java.util.Arrays;

public class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int[] dp = new int[amount + 1]; // 初始化 dp 数组，大小为 amount + 1
        Arrays.fill(dp, -1); // 全部元素初始化为 -1
        dp[0] = 0; // 金额 0 的最优解 dp[0]=0

        // 依次计算 1 至 amount 的最优解
        for (int i = 1; i <= amount; i++) {
            // 对于每个金额 i ，遍历面值 coins 数组
            for (int j = 0; j < coins.length; j++) {
                // 需要拼凑的面额 i 比当前面值 coins[j] 大，且金额 i - coins[j] 有最优解
                if (coins[j] <= i && dp[i - coins[j]] != -1) {
                    // 如果当前金额还未计算或者 dp[i] 比当前计算的值大
                    if (dp[i] == -1 || dp[i] > dp[i - coins[j]] + 1) {
                        dp[i] = dp[i - coins[j]] + 1; // 更新 dp[i]
                    }
                }
            }
        }
        return dp[amount]; // 返回金额 amount 的最优解 dp[amount]
    }
}

可以看到上面代码嵌套了较多 for 和 if 语句块，本人用 TypeScript 写了一个数组方法的实现：

function coinChange(coins: number[], amount: number) {
  // 创建长度为 amount + 1 ，全部元素为 -1 的数组
  const dp = Array.from(new Array(amount + 1), () => -1);
  dp[0] = 0;
  // 数组 forEach 只能从头开始迭代，不能从中间某个位置开始
  // 这里还是只能用 for 循环
  for (let i=1; i<=amount; i++) {
    // 遍历所有面值计算方案
    const schemes = coins
      .filter(coin => (coin <= i) && (dp[i - coin] !== -1))
      .map(coin => 1 + dp[i - coin]);
    // 如果方案存在，则使用方案中的最小值
    if (schemes.length) {
      dp[i] = Math.min(...schemes);
    }
  }
  return dp[amount];
}

用数组方法干掉了一个 for 循环和两个 if 判断，性能肯定不如原来的好，但是提升了语义性，容易理解

时间复杂度：O(M*N)（M 为金额大小，N 为硬币面值数量）
空间复杂度：O(M)