归并排序以及Master公式

一、概念

归并排序（Merge Sort）是建立在归并操作上的一种有效，稳定的排序算法，该算法是采用分治法的一个非常典型的应用。

将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。

二、排序过程

1、归并操作，指的是将两个顺序序列合并成一个顺序序列的方法。

如：数组 {6，202，100，301，38，8，1}

初始状态：6,202,100,301,38,8,1

第一次归并后：{6,202},{100,301},{8,38},{1}；

第二次归并后：{6,100,202,301}，{1,8,38}；

第三次归并后：{1,6,8,38,100,202,301}；

2、归并操作步骤如下：

（1）申请空间，大小为两个已经排好序的序列之和，该空间用来做辅助数组

（2）设定两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置

（3）比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间（相等选择左组），并移动指针到下一位置。

重复步骤3直到某一指针越界。将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列（辅助数组）尾，将辅助数组数据拷贝回原数组。

三、Master公式估计时间复杂度

Master公式：分析递归函数的时间复杂度，要求子问题规模一致

形如：
T(N) = a * T(N/b) + O(N^d)（其中a、b、d都是常数）的递归函数，可以直接通过Master公式来确定时间复杂度
1）如果log(b,a) < d，时间复杂度为O(N^d)
2）如果log(b,a) > d，时间复杂度为O(N^log(b,a))
3）如果log(b,a) == d，时间复杂度为O(N^d * logN)

根据Master公式可得 T(N) =2 * T(N/2) + O(N)

因为每次都是拆分为两个子问题，每个子问题占总规模的一半，且合并过程的时间复杂度是O(N)

可得归并排序的时间复杂度是O(N*logN)。

四、代码实现

1、递归方法实现

    /**
     * 1.递归方法实现
     */
    public static void mergeSort1(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length < 2) {
            return;
        }
        process(arr, 0, arr.length - 1);
    }

    private static void process(int[] arr, int l, int r) {
        if (l == r) {
            return;
        }
        int mid = l + ((r - l) >> 1);
        // 左组递归
        process(arr, l, mid);
        // 右组递归
        process(arr, mid + 1, r);
        // 合并
        merge(arr, l, mid, r);
    }

    private static void merge(int[] arr, int l, int m, int r) {
        // 辅助数组
        int[] help = new int[r - l + 1];
        int i = 0;

        // 左组位置
        int pL = l;
        // 右组位置
        int pR = m + 1;

        while (pL <= m && pR <= r) {
            // 谁小拷贝谁，相等的拷贝左组
            help[i++] = arr[pL] <= arr[pR] ? arr[pL++] : arr[pR++];
        }
        // pL和pR有且只有一个会越界，也就是下面两个while只有一个会执行
        while (pL <= m) {
            help[i++] = arr[pL++];
        }
        while (pR <= r) {
            help[i++] = arr[pR++];
        }
        // 拷贝回原数组
        for (int j = 0; j < help.length; j++) {
            arr[l + j] = help[j];
        }
    }

2、迭代方式实现

定义一个步长，初始值为1。从0位置的数开始，每两个步长的数merge完后拷贝回原数组，步长*2；再从0位置的数开始，每两个步长的数merge完后拷贝回原数组，步长*2……直到（步长 > 数组长度 / 2）

    /**
     * 2.迭代方式实现归并排序
     * <p>
     * 步长调整次数 复杂度是logN，每次调整步长都会遍历一遍整个数组 复杂度是N，整个的时间复杂度是O(N*logN)
     */
    public static void mergeSort2(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length < 2) {
            return;
        }
        int N = arr.length;
        // 步长初始值
        int mergeSize = 1;

        // 步长不能超过数组长度
        while (mergeSize < N) {
            // 当前左组的第一个位置
            int L = 0;
            // 左组也不能超过数组长度
            while (L < N) {
                // 左组最后一个位置
                int M = L + mergeSize - 1;
                // 如果左组最后一个位置越界，表明左组都不够则不需要merge
                if (M >= N) {
                    break;
                }

                // 右组的最后一个位置
                // 右组第一个位置是 M + 1，满足个数要求则右组大小是mergeSize，所以最后一个位置是 (M + 1) + mergeSize - 1
                // 不满足则是数组的最大位置 N - 1
                int R = Math.min(M + mergeSize, N - 1);

                // 目前 左组：L......M，右组：M+1......R
                merge(arr, L, M, R);

                // 下一次左组的位置（所以才需要判断L < N）
                L = R + 1;
            }

            // 防止溢出
            // 当步长很靠近N的最大值时，乘以2扩大步长后，步长就溢出了
            // 不能取 >=，假设最大值是9，mergeSize = 4时就不会扩大步长了，但是mergeSize = 8时还有一次merge，所以不能取 =
            if (mergeSize > N / 2) {
                break;
            }

            // 步长每次扩大2倍
            mergeSize <<= 1;
        }

    }