关于二分查找的题型
普通的二分
- LC704 二分查找 简单
- LC34 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 中等
变体:旋转数组
- LC153 寻找旋转排序数组的最小值 中等
- LC33 搜索旋转排序数组 中等
二分通用技巧
最常用最基础的二分查找,接收一个数组,和一个target目标值,要寻找到这个目标,返回该目标的下标。找不到就返回-1。直接对应LC704的答案
function search(nums: number[], target: number): number {
let left: number = 0, right: number = nums.length - 1
while (left <= right) {
let mid: number = Math.floor(left + (right - left) / 2)
if (nums[mid] < target){
left = mid + 1
} else if (nums[mid] > target){
right = mid - 1
} else if (nums[mid] === target){
return mid
}
}
return -1
};
注意点:
- 不用
mid = Math.floor((left + right)/2)
的主要原因是怕超出最大值 - while里的left<=right而不是单纯的小于,是因为我们需要搜索的区域是一个闭区间,也就是[left,right],这样才能确定不漏掉一个数
但是,有些时候,目标值不止一个,也就是说可能有多个目标值,我们需要找到其左边界和右边界,所以上面的算法靠不住了,但是依然可以在上面的算法中做一定的改动。这里主要学习到的是labuladong的算法秘籍
中提到的思路。
假设在一个新的数组中,[1,2,3,3,3,4],我们要找target = 3的左右边界,怎么办呢?
这里直接贴LC34里我的解法,超过了98%的同学
//main function
function searchRange(nums: number[], target: number): number[] {
return [leftBound(nums,target), rightBound(nums,target)]
};
//find left bound
function leftBound(nums: number[], target: number): number {
let left: number = 0, right: number = nums.length - 1
while (left <= right){
let mid: number = Math.floor(left + (right - left)/2)
if (nums[mid] < target){
left = mid + 1
} else if (nums[mid] > target){
right = mid - 1
} else {
right = mid - 1
}
}
//重点部分
if (left >= nums.length || nums[left] !== target) {
return -1
} else {
return left
}
}
//find right bound
function rightBound(nums: number[], target: number): number {
let left: number = 0, right: number = nums.length - 1
while (left <= right){
let mid: number = Math.floor(left + (right - left)/2)
if (nums[mid] < target){
left = mid + 1
} else if (nums[mid] > target){
right = mid - 1
} else {
left = mid + 1
}
}
//重点部分
if (right < 0 || nums[right] !== target) {
return -1
} else {
return right
}
}
这个题目的意思很简单,就是让我们找到左右边界而已,那我们分别去找左边界和右边界就行。仔细观察的话,会发现和基础的差别不大,但是多出来两行判断结果的部分。然后在nums[mid] === target
的时候,我们没有去输出,而是缩小边界继续查找。
重点的部分,在于理解,什么时候会跳出循环,我们给定的条件是left <= right
, 因此,当left > right
的时候,就可以跳出循环。
先考虑leftBound这个函数,当nums[mid]正好等于左边界的时候,我们的right再次缩小范围到左边界-1的位置,此之后的left会不停的增大直到和right相等,最后left = mid + 1
便刚刚好大于right,且等于左边界
的位置。
跳出循环之后,再次进行判断,因为我们没有考虑两种极端情况,一种是left超过边界,一种是找到的左边界并不等于target,这样算出来的结果就是正确的。
旋转数组:二分查找的变体
在leetcode中,有不少旋转数组的题,这里挑两个聊聊。一个是LC153的最基础的旋转数组。像是[3,4,5,0,1,2]就是典型的旋转数组,我们可以发现规律,就是除了中间一个点是无序的,其余的都是有序的,那我们是不是通过二分查找可以去找到这个旋转点呢?(有的同学选择直接遍历,也不是不行,就是在数据量巨大的时候,时间复杂度很高)在这个题目中,我们只要输出0就可以,也就是所说的旋转点。直接贴答案
function findMin(nums: number[]): number {
let left: number = 0, right: number = nums.length - 1
while (left < right){
let mid: number = Math.floor(left + (right - left) /2)
if (nums[mid] < nums[right]){
right = mid
} else if (nums[mid] > nums[right]){
left = mid + 1
}
}
return nums[left]
};
这里又出现了一个比较坑的点,为什么是left < right呢,一个等号区别这么大吗? 我试过改为小于等于,再改点其他地方七七八八,发现都得不到正确的结果。咱来仔细分析一下原因。
之前说过一个问题,那就是判断循环的出口条件,这里的话就是left === right,循环就结束了,我们想找到的旋转点是最小值,所以当我们在mid刚好是旋转点时,肯定是进入的第一个判断。
为什么呢?为什么我能确定mid一定比此时的right小呢,第一个原因是Math.floor,mid跟right相等的唯一条件是left === right,就退出循环了。所以我们下一步得到的是mid = 旋转点 - 1,此时对应的数值是最大值,所以肯定比刚才的right大,然后left和right相等,退出循环,返回left和right皆可。
所以说二分查找,如果要讨论的非常细致的话,边界条件是考虑的非常复杂的。
最后看一个题,是LC33,搜索旋转排序数组,其实就是把旋转数组和二分查找的经典模版结合而已。
function search(nums: number[], target: number): number {
const spin = findSpinIndex(nums)
if (target < nums[spin] || target > nums[spin - 1]) {
return -1
} else if (target > nums[nums.length - 1]){
return binarySearch(nums, target, 0, spin - 1)
} else if (target <= nums[nums.length - 1]){
return binarySearch(nums, target, spin, nums.length - 1)
}
};
function findSpinIndex(nums:number[]): number {
let left: number = 0, right: number = nums.length - 1
while (left < right){
let mid: number = Math.floor(left + (right - left) / 2)
if (nums[mid] < nums[right]){
right = mid
} else if (nums[mid] > nums[right]){
left = mid + 1
}
}
return left
}
function binarySearch(nums: number[], target: number, leftBound: number, rightBound: number): number {
let left: number = leftBound, right: number = rightBound
while (left <= right){
let mid: number = Math.floor(left + (right - left) / 2)
if (nums[mid] > target){
right = mid - 1
} else if (nums[mid] < target){
left = mid + 1
} else if (nums[mid] === target) {
return mid
}
}
return -1
}
这个题没什么特别需要注意的地方,注意一下主函数的边界判断就好
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