数据结构和算法（二）：复杂度分析

执行效率：运行的更快，更省空间

时间复杂度

• 假设：每行代码执行的时间都一样，为unit_time
• 分析原因：测试结果依赖测试环境和数据规模，所以不能事后分析，需要事前粗略估计。
• 大O复杂度表示法：不具体表示代码真正的执行时间，只代表代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，也叫渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
• 复杂度排序：O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n的平方)

分析方法

• 只关注循环执行次数最多的一段代码
• 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度。
• 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积。

非多项式量级

指数和阶乘

多项式时间复杂度

1、 O(1)

表示常量级的时间复杂度，不是说只执行了一行代码。

一般情况下，只要不存在递归，循环，或者成千上万行代码，时间复杂度都是O(1)

2、 O(logn)、O(nlogn)

对数级时间复杂度，最难分析。
归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。
如下：

 i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 2;
 }

3、 O(m+n)、O(m*n)

复杂度有两个数据的规模决定，但是无法评估m和n谁的量级大，故不能省略任何一个。
如下：

int cal(int m, int n) {
  int sum_1 = 0;
  int i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
    sum_1 = sum_1 + i;
  }

  int sum_2 = 0;
  int j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j;
  }

  return sum_1 + sum_2;
}

空间复杂度

• 算法的存储空间和数据规模之间的增长关系。

• 常见的空间复杂度：O(1)，O(n)，O(n的平方)，对数阶的用得少。
  思考：

  Q&A

  Q: 讲到存储一个二进制数，输入规模（空间复杂度）是O(logn) bit？
  A: 比如8用二进制表示就是3个bit。16用二进制表示就是4个bit。以此类推 n用二进制表示就是logn个bit