阅读本文需要的背景知识点：对数几率回归算法（一）、共轭梯度法、一点点编程知识
一、引言
接上一篇对数几率回归算法（一），其中介绍了优化对数几率回归代价函数的两种方法——梯度下降法（Gradient descent）与牛顿法（Newton's method）。但当使用一些第三方机器学习库时会发现，一般都不会简单的直接使用上述两种方法，而是用的是一些优化版本或是算法的变体。例如前面介绍的在 scikit-learn 中可选的求解器如下表所示：
| 求解器/solver | 算法 |
|---|---|
| sag | 随机平均梯度下降法（Stochastic Average Gradient/SAG） |
| saga | 随机平均梯度下降加速法（SAGA） |
| lbfgs | L-BFGS算法（Limited-memory Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno/L-BFGS） |
| newton-cg | 牛顿-共轭梯度法（Newton-Conjugate Gradient） |
下面就来一一介绍上述的这些算法，为什么一般第三方库中不直接梯度下降法与牛顿法，这两个原始算法存在什么缺陷？由于笔者能力有限，下面算法只给出了迭代公式，其迭代公式的来源无法在此详细推导出来，感兴趣的读者可参考对应论文中的证明。
二、梯度下降法
梯度下降法（Gradient Descent/GD）
梯度下降原始算法，也被称为批量梯度下降法（Batch gradient descent/BGD），将整个数据集作为输入来计算梯度。
$$ w=w-\eta \nabla_{w} \operatorname{Cost}(w) $$
该算法的主要缺点是使用了整个数据集，当数据集很大的时候，计算梯度时可能会异常的耗时。
随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent/SGD）
每次迭代更新只随机的处理某一个数据，而不是整个数据集。
$$ w=w-\eta \nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(w, X_{i}, y_{i}\right) \quad i \in[1, N] $$
该算法由于是随机一个数据点，代价函数并不是一直下降，而是会上下波动，调整步长使得代价函数的结果整体呈下降趋势，所以收敛速率没有批量梯度下降快。
小批量梯度下降法（Mini-batch Gradient Descent/MBGD）
小批量梯度下降法结合了上面两种算法，在计算梯度是既不是使用整个数据集，也不是每次随机选其中一个数据，而是一次使用一部分数据来更新。
$$ w=w-\eta \nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(w, X_{(i: i+k)}, y_{(i: i+k)}\right) \quad i \in[1, N] $$
随机平均梯度下降法1（Stochastic Average Gradient/SAG）
随机平均梯度下降法是对随机梯度下降法的优化，由于SGD的随机性，导致其收敛速度较缓慢。SAG则是通过记录上一次位置的梯度记录，使得能够看到更多的信息。
$$ \begin{aligned} w_{k+1} &=w_{k}-\frac{\eta}{N} \sum_{i=1}^{N}\left(d_{i}\right)_{k} \\ d_{k} &=\left\{\begin{array}{ll} \nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(w_{k}, X_{i}, y_{i}\right) & i=i_{k} \\ d_{k-1} & i \neq i_{k} \end{array}\right. \end{aligned} $$
方差缩减随机梯度下降法2（Stochastic Variance Reduced Gradient/SVRG）
方差缩减随机梯度下降法是对随机梯度下降法的另一种优化，由于SGD的收敛问题是由于梯度的方差假设有一个常数的上界，SVRG的做法是通过减小这个方差来使得收敛过程更加稳定。
$$ w_{k+1}=w_{k}-\eta\left(\nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(w_{k}, X_{i}, y_{i}\right)-\nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(\hat{w}, X_{i}, y_{i}\right)+\frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N} \nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(\hat{w}, X_{j}, y_{j}\right)\right) $$
随机平均梯度下降法变体3（SAGA）
SAGA是对随机平均梯度下降法的优化，结合了方差缩减随机梯度下降法的方法。
$$ w_{k+1}=w_{k}-\eta\left(\nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(w_{k}, X_{i}, y_{i}\right)-\nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(w_{k-1}, X_{i}, y_{i}\right)+\frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N} \nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(w, X_{j}, y_{j}\right)\right) $$
三、牛顿法
牛顿法（Newton Method）
牛顿法原始版本，将整个数据集作为输入来计算出梯度和黑塞矩阵后求出下降的方向
$$ w_{k+1}=w_{k}-\eta\left(H^{-1} \nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(w_{k}\right)\right) $$
该算法的主要缺点是需要求黑塞矩阵和它的逆矩阵，当 x 的维度过多的时候，求黑塞矩阵的过程会异常的困难。
DFP法4（Davidon–Fletcher–Powell）
DFP法是一个拟牛顿法，算法如下：
$$ \begin{aligned} g_{k} &=\nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(w_{k}\right) \\ d_{k} &=-D_{k} g_{k} \\ s_{k} &=\eta d_{k} \\ w_{k+1} &=w_{k}+s_{k} \\ g_{k+1} &=\nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(w_{k+1}\right) \\ y_{k} &=g_{k+1}-g_{k} \\ D_{k+1} &=D_{k}+\frac{s_{k} s_{k}^{T}}{s_{k}^{T} y_{k}}-\frac{D_{k} y_{k} y_{k}^{T} D_{K}}{y_{k}^{T} D_{k} y_{k}} \end{aligned} $$
可以看到DFP不再直接求黑塞矩阵，而是通过一次一次的迭代来得到近似值，其中D为黑塞矩阵的逆矩阵的近似。
BFGS法5（Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno）
BFGS法同样是一个拟牛顿法，基本步骤与DFP法一模一样，算法如下：
$$ \begin{aligned} g_{k} &=\nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(w_{k}\right) \\ d_{k} &=-D_{k} g_{k} \\ s_{k} &=\eta d_{k} \\ w_{k+1} &=w_{k}+s_{k+1} \\ g_{k+1} &=\nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(w_{k+1}\right) \\ y_{k} &=g_{k+1}-g_{k} \\ D_{k+1} &=\left(I-\frac{s_{k} y_{k}^{T}}{y_{k}^{T} s_{k}}\right) D_{k}\left(I-\frac{y_{k} s_{k}^{T}}{y_{k}^{T} s_{k}}\right)+\frac{s_{k} s_{k}^{T}}{y_{k}^{T} s_{k}} \end{aligned} $$
可以看到BFGS法的唯一区别只是对黑塞矩阵的近似方法不同，其中D为黑塞矩阵的逆矩阵的近似。
L-BFGS法6（Limited-memory Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno）
由于BFGS法需要存储一个近似的黑塞矩阵，当 x 的维度过多的时候，这个黑塞矩阵的占用内存会异常的大，L-BFGS法则是对BFGS法再一次的近似，算法如下：
$$ \begin{aligned} g_{k} &=\nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(w_{k}\right) \\ d_{k} &=-\operatorname{calcDirection}\left(s_{k-m: k-1}, y_{k-m: k-1}, \rho_{k-m: k-1}, g_{k}\right) \\ s_{k} &=\eta d_{k} \\ w_{k+1} &=w_{k}+s_{k} \\ g_{k+1} &=\nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(w_{k+1}\right) \\ y_{k} &=g_{k+1}-g_{k} \\ \rho_{k} &=\frac{1}{y_{k}^{T} s_{k}} \end{aligned} $$
可以看到L-BFGS法不再直接保存这个近似的黑塞矩阵，而是当要用到时直接通过一组向量计算出来，达到节省内存的目的。计算方向的方法可参考下面代码中的实现。
牛顿共轭梯度法（Newton-Conjugate Gradient/Newton-CG）
牛顿共轭梯度法是对牛顿法的优化，算法如下：
$$ \begin{aligned} g_{k} &=\nabla_{w} \operatorname{Cost}\left(w_{k}\right) \\ H_{k} &=\nabla_{w}^{2} \operatorname{Cost}\left(w_{k}\right) \\ \Delta w &=c g\left(g_{k}, H_{k}\right) \\ w_{k+1} &=w_{k}-\Delta w \end{aligned} $$
可以看到牛顿共轭梯度法不再求黑塞矩阵的逆矩阵，而是通过共轭梯度法（Conjugate Gradient）直接求出Δw。关于共轭梯度法推荐看参考文献中的文章7，详细介绍了该算法的原理与应用。
四、代码实现
使用 Python 实现对数几率回归算法（随机梯度下降法）：
import numpy as np
def logisticRegressionSGD(X, y, max_iter=100, tol=1e-4, step=1e-1):
w = np.zeros(X.shape[1])
xy = np.c_[X.reshape(X.shape[0], -1), y.reshape(X.shape[0], 1)]
for it in range(max_iter):
s = step / (np.sqrt(it + 1))
np.random.shuffle(xy)
X_new, y_new = xy[:, :-1], xy[:, -1:].ravel()
for i in range(0, X.shape[0]):
d = dcost(X_new[i], y_new[i], w)
if (np.linalg.norm(d) <= tol):
return w
w = w - s * d
return w使用 Python 实现对数几率回归算法（批量随机梯度下降法）：
import numpy as np
def logisticRegressionMBGD(X, y, batch_size=50, max_iter=100, tol=1e-4, step=1e-1):
w = np.zeros(X.shape[1])
xy = np.c_[X.reshape(X.shape[0], -1), y.reshape(X.shape[0], 1)]
for it in range(max_iter):
s = step / (np.sqrt(it + 1))
np.random.shuffle(xy)
for start in range(0, X.shape[0], batch_size):
stop = start + batch_size
X_batch, y_batch = xy[start:stop, :-1], xy[start:stop, -1:].ravel()
d = dcost(X_batch, y_batch, w)
if (np.linalg.norm(p_avg) <= tol):
return w
w = w - s * d
return w使用 Python 实现对数几率回归算法（随机平均梯度下降法）：
import numpy as np
def logisticRegressionSAG(X, y, max_iter=100, tol=1e-4, step=1e-1):
w = np.zeros(X.shape[1])
p = np.zeros(X.shape[1])
d_prev = np.zeros(X.shape)
for it in range(max_iter):
s = step / (np.sqrt(it + 1))
for it in range(X.shape[0]):
i = np.random.randint(0, X.shape[0])
d = dcost(X[i], y[i], w)
p = p - d_prev[i] + d
d_prev[i] = d
p_avg = p / X.shape[0]
if (np.linalg.norm(p_avg) <= tol):
return w
w = w - s * p_avg
return w使用 Python 实现对数几率回归算法（方差缩减随机梯度下降法）：
import numpy as np
def logisticRegressionSVRG(X, y, max_iter=100, m = 100, tol=1e-4, step=1e-1):
w = np.zeros(X.shape[1])
for it in range(max_iter):
s = step / (np.sqrt(it + 1))
g = np.zeros(X.shape[1])
for i in range(X.shape[0]):
g = g + dcost(X[i], y[i], w)
g = g / X.shape[0]
tempw = w
for it in range(m):
i = np.random.randint(0, X.shape[0])
d_tempw = dcost(X[i], y[i], tempw)
d_w = dcost(X[i], y[i], w)
d = d_tempw - d_w + g
if (np.linalg.norm(d) <= tol):
break
tempw = tempw - s * d
w = tempw
return w使用 Python 实现对数几率回归算法（SAGA）：
import numpy as np
def logisticRegressionSAGA(X, y, max_iter=100, tol=1e-4, step=1e-1):
w = np.zeros(X.shape[1])
p = np.zeros(X.shape[1])
d_prev = np.zeros(X.shape)
for i in range(X.shape[0]):
d_prev[i] = dcost(X[i], y[i], w)
for it in range(max_iter):
s = step / (np.sqrt(it + 1))
for it in range(X.shape[0]):
i = np.random.randint(0, X.shape[0])
d = dcost(X[i], y[i], w)
p = d - d_prev[i] + np.mean(d_prev, axis=0)
d_prev[i] = d
if (np.linalg.norm(p) <= tol):
return w
w = w - s * p
return w使用 Python 实现对数几率回归算法（DFP）：
import numpy as np
def logisticRegressionDPF(X, y, max_iter=100, tol=1e-4):
w = np.zeros(X.shape[1])
D_k = np.eye(X.shape[1])
g_k = dcost(X, y, w)
for it in range(max_iter):
d_k = -D_k.dot(g_k)
s = lineSearch(X, y, w, d_k, 0, 10)
s_k = s * d_k
w = w + s_k
g_k_1 = dcost(X, y, w)
if (np.linalg.norm(g_k_1) <= tol):
return w
y_k = (g_k_1 - g_k).reshape(-1, 1)
s_k = s_k.reshape(-1, 1)
D_k = D_k + s_k.dot(s_k.T) / s_k.T.dot(y_k) - D_k.dot(y_k).dot(y_k.T).dot(D_k) / y_k.T.dot(D_k).dot(y_k)
g_k = g_k_1
return w使用 Python 实现对数几率回归算法（BFGS）：
import numpy as np
def logisticRegressionBFGS(X, y, max_iter=100, tol=1e-4):
w = np.zeros(X.shape[1])
D_k = np.eye(X.shape[1])
g_k = dcost(X, y, w)
for it in range(max_iter):
d_k = -D_k.dot(g_k)
s = lineSearch(X, y, w, d_k, 0, 10)
s_k = s * d_k
w = w + s_k
g_k_1 = dcost(X, y, w)
if (np.linalg.norm(g_k_1) <= tol):
return w
y_k = (g_k_1 - g_k).reshape(-1, 1)
s_k = s_k.reshape(-1, 1)
a = s_k.dot(y_k.T)
b = y_k.T.dot(s_k)
c = s_k.dot(s_k.T)
D_k = (np.eye(X.shape[1]) - a / b).dot(D_k).dot((np.eye(X.shape[1]) - a.T / b)) + c / b
g_k = g_k_1
return w使用 Python 实现对数几率回归算法（L-BFGS）：
import numpy as np
def calcDirection(ss, ys, rhos, g_k, m, k):
delta = 0
L = k
q = g_k.reshape(-1, 1)
if k > m:
delta = k - m
L = m
alphas = np.zeros(L)
for i in range(L - 1, -1, -1):
j = i + delta
alpha = rhos[j].dot(ss[j].T).dot(q)
alphas[i] = alpha
q = q - alpha * ys[j]
r = np.eye(g_k.shape[0]).dot(q)
for i in range(0, L):
j = i + delta
beta = rhos[j].dot(ys[j].T).dot(r)
r = r + (alphas[i] - beta) * ss[j]
return -r.ravel()
def logisticRegressionLBFGS(X, y, m=100, max_iter=100, tol=1e-4):
w = np.zeros(X.shape[1])
g_k = dcost(X, y, w)
d_k = -np.eye(X.shape[1]).dot(g_k)
ss = []
ys = []
rhos = []
for it in range(max_iter):
d_k = calcDirection(ss, ys, rhos, g_k, m, it)
s = lineSearch(X, y, w, d_k, 0, 1)
s_k = s * d_k
w = w + s_k
g_k_1 = dcost(X, y, w)
if (np.linalg.norm(g_k_1) <= tol):
return w
y_k = (g_k_1 - g_k).reshape(-1, 1)
s_k = s_k.reshape(-1, 1)
ss.append(s_k)
ys.append(y_k)
rhos.append(1 / (y_k.T.dot(s_k)))
g_k = g_k_1
return w使用 Python 实现对数几率回归算法（牛顿共轭梯度法）：
import numpy as np
def cg(H, g, max_iter=100, tol=1e-4):
"""
共轭梯度法
H * deltaw = g
"""
deltaw = np.zeros(g.shape[0])
i = 0
r = g
d = r
delta = np.dot(r, r)
delta_0 = delta
while i < max_iter:
q = H.dot(d)
alpha = delta / (np.dot(d, q))
deltaw = deltaw + alpha * d
r = r - alpha * q
delta_prev = delta
delta = np.dot(r, r)
if delta <= tol * tol * delta_0:
break
beta = delta / delta_prev
d = r + beta * d
i = i + 1
return deltaw
def logisticRegressionNewtonCG(X, y, max_iter=100, tol=1e-4, step = 1.0):
"""
对数几率回归，使用牛顿共轭梯度法（Newton-Conjugate Gradient）
args:
X - 训练数据集
y - 目标标签值
max_iter - 最大迭代次数
tol - 变化量容忍值
return:
w - 权重系数
"""
# 初始化 w 为零向量
w = np.zeros(X.shape[1])
# 开始迭代
for it in range(max_iter):
# 计算梯度
d = dcost(X, y, w)
# 当梯度足够小时，结束迭代
if np.linalg.norm(d) <= tol:
break
# 计算黑塞矩阵
H = ddcost(X, y, w)
# 使用共轭梯度法计算Δw
deltaw = cg(H, d)
w = w - step * deltaw
return w五、第三方库实现
scikit-learn8 实现对数几率回归（随机平均梯度下降法）：
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
# 初始化对数几率回归器，无正则化
reg = LogisticRegression(penalty="none", solver="sag")
# 拟合线性模型
reg.fit(X, y)
# 权重系数
w = reg.coef_
# 截距
b = reg.intercept_scikit-learn8实现对数几率回归（SAGA）：
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
# 初始化对数几率回归器，无正则化
reg = LogisticRegression(penalty="none", solver="saga")
# 拟合线性模型
reg.fit(X, y)
# 权重系数
w = reg.coef_
# 截距
b = reg.intercept_scikit-learn8实现对数几率回归（L-BFGS）：
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
# 初始化对数几率回归器，无正则化
reg = LogisticRegression(penalty="none", solver="lbfgs")
# 拟合线性模型
reg.fit(X, y)
# 权重系数
w = reg.coef_
# 截距
b = reg.intercept_scikit-learn8实现对数几率回归（牛顿共轭梯度法）：
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
# 初始化对数几率回归器，无正则化
reg = LogisticRegression(penalty="none", solver="newton-cg")
# 拟合线性模型
reg.fit(X, y)
# 权重系数
w = reg.coef_
# 截距
b = reg.intercept_七、思维导图
八、参考文献
- https://hal.inria.fr/hal-0086...
- https://harkiratbehl.github.i...
- https://arxiv.org/pdf/1407.02...
- https://en.wikipedia.org/wiki...
- https://en.wikipedia.org/wiki...
- https://en.wikipedia.org/wiki...
- https://flat2010.github.io/20...
- https://scikit-learn.org/stab...
完整演示请点击这里
注：本文力求准确并通俗易懂，但由于笔者也是初学者，水平有限，如文中存在错误或遗漏之处，恳请读者通过留言的方式批评指正
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