算法之异或操作

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异或操作

0 ^ 0 = 0
0 ^ 1 = 1
1 ^ 0 = 1
1 ^ 1 = 0

异或操作可以看做无进位相加操作

也就是两个数相加,但是只做加法,不进位。

 1110101 
^1011011 
---------- 
 0101110

运算定律

  • 0^a = a, a^a = 0
  • 满足交换律 a^b = b^a
  • 满足结合律 (a^b)^c = a^(b^c)
  • 一堆数异或,无论顺序如何,结果相同,其实就是上面的结合律。

下面来看两道题:

例1

数组中有一列数字,其中有一个数字a出现了奇数次,其他的数字出现的次数都是偶数次,求出数字a,要求时间复杂度是O(n),空间复杂度是O(1)

分析:假设这列数字是aaabbccdddd,顺序无所谓,把这些数字进行异或操作,根据第一个定律,两个相同的数字进行异或后是0,重复出现次数为偶数次的数进行异或后都是0,剩下的3个a,其中两个异或后也是0,剩下的就是a,所以也就是说把数组遍历一遍,进行异或操作,最终结果就是要求的数字a。
    public static int getOddTimesNumber(int[] arr) {
        int res = 0;
        for (int i: arr) {
            res ^= i;
        }
        return res;
    }

例2

数组中有一列数字,其中有两个数字a和b出现了奇数次(a≠b),其他的数字出现的次数都是偶数次,求出数字a和b,要求时间复杂度是O(n),空间复杂度是O(1)
分析:
1.把数组遍历一遍进行异或操作后,得到的结果记为eor,这个eor最终一定是a^b。
2.如果能找到一种方法把a或者b找出来,记为x,(假设x是a);那么eor^x就是b。

利用O(1)的空间,我们是没法找的,记录频率肯定空间不够哈。那么能否将两者区分开呢?
因为a和b不相等,所以eor不等于0,那么其二进制肯定有某些位置是1,或者说至少有一位是1。那么a和b的二进制在这个位置处肯定不一样(也就是说一个是1,一个是0),否则异或后eor的该位置一定是0。

利用这个观察到的规律,可以把数组中的数分成两组,a在一组数中,b在另外一组数中。这里设置为一个未处理的标记,我们等会儿来解决。

我们先来看一个位运算的例子:
eor & (~eor + 1)
eor取反加一,然后和自身进行与运算。来看看得到的结果是什么:

假设eor = 1001110001000
eor: 1001110001000
~eor=0110001110111
+1  =0110001111000
&eor:1001110001000
=    0000000001000 

得到的是最右边的1保留,其余位数变为0,这个结果记为rightZero,1的位置记为index.
如何利用这个数字的特性来吧a和b区分开来呢?看这个操作
if ((x & rightZero) == rightZero) {...}
数值x和rightZero进行与操作,就会把x的第index处保留,其他位置上清除为0。在判断语句中判断结果是否==rightZero就会检查x的index处是否为1。

用这个方法遍历数组,就可以解决上面留的问题,把a和b分开。遍历数组,用上面的判断语句,符合条件的是一堆,不符合条件的是一堆,而a和b肯定在两个堆中。

把满足条件的一堆,进行异或运算,得到的肯定是a或b其中之一,而拿eor^得到的这个数,得到的就是另一个。

下面来看下实现:

    public static int[] getOddTimesTwoNumber(int[] arr) {
        int[] resArray = new int[2];
        int eor = 0;
        for (int i: arr) {
            eor ^= i;
        }
        // eor取反加一,然后和eor自身进行与运算,结果会把eor二进制格式的最右边的1保留,其余位变成0
        // 1001110001000运算后是
        // 0000000001000
        int rightZero = eor & (~eor + 1);
        int first = 0;
        for (int i: arr) {
            // 以此条件进行区分,把所求的两个数区分成两组,
            if ((i & rightZero) == rightZero) {
                first ^= i; // 筛选
            }
        }
        resArray[0] = first;
        resArray[1] = eor ^ first; // eor ^ first结果就是第二个数
        return resArray;
    }
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