cs61b week8 -- Binary Search Tree

1.ADT 抽象数据类型

抽象数据类型就是只定义一些操作，而不去具体实现这些操作，例如双端队列(Deque)：

Deque ADT:
addFirst(Item x);
addLast(Item x);
boolean isEmpty();
int size();
printDeque();
Item removeFirst();
Item removeLast();
Item get(int index);

在Project 1中，Deque只给了一些API，而具体的实现代码交由我们处理，由此产生了ArrayDeque和LinkedListDeque。
还有就是之前课上讲的List61B接口，只声明一些方法，具体实现为AList和SLList
准确来说,Java的interface并不是ADT，因为interface允许存在一些default的方法。

一个有趣的问题

现有一种抽象数据类型名为GrabBag,支持以下操作:

• insert(int x)向GrabBag中插入x
• int remove():随机地从GrabBag中移除
• int sample():随机地从GrabBag中返回一个样本值
• in size()：返回GrabBag的元素个数

那么选取何种底层数据结构来实现GrabBag性能更佳?(数组 or 单链表)

答案是:数组
GrabBag中最需要考虑的操作就是随机地从Grab中删除一个元素，在数组中的实现为:

\(把数组最后一个元素B与待删除的元素A进行交换，然后指向数组末尾的指针减一\)

Map Example

几乎java.util library中最重要的interface是Collections，List,Set,Map均继承了该接口:

Map即<Key,Value>的映射，内置的Map有HashMap和TreeMap,下面是一个HashMap的使用例子，为列表中的单词与其出现次数之间建立映射关系:

Map<String, Integer> m = new TreeMap<>();
String[] text = {"sumomo", "mo", "momo", "mo",
                 "momo", "no", "uchi"};
for (String s : text) {
   int currentCount = m.getOrDefault(s, 0);
   m.put(s, currentCount + 1);
}

其中,getOrDefault(Object key, V defaultValue)方法获取指定 key 对应对 value，如果找不到 key ，则返回设置的默认值。

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2.BST的定义

BST(Binary Search Tree)二叉搜索树的定义:
二叉搜索树是一棵有根树，且满足BST性质:
树的所有左子树的结点的值(key)小于根结点，且所有右子树的结点的值(key)大于根节点
BST的有序性必须满足：完整性，传递性和反对称性
给定两个key p和q:

\( 反对称:p<q 或 q<p 必须有一个为真，p<q则q<p不满足 \)
\( 传递:若p<q，且q<r，则p<r \)

且二叉搜索树中不能有重复的值，即不能出现相同的值(Josh的说法)

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3.BST的搜索

在二叉搜索树中查询某个值:

• 假如未找到，返回null
• 找到了，返回对应的key

查询的路线即基于树的BST性质，对于经过的每个结点，将查询值与结点值进行比较，
若小于当前结点值，则进入左子树继续搜索
若大于当前结点值，则进入右子树进行搜索，此后递归进行。
伪代码:

static BST find(BST T, Key sk) {
   if (T == null)
      return null;
   if (sk.equals(T.key))
      return T;
   else if (sk ≺ T.key)
      return find(T.left, sk);
   else
      return find(T.right, sk);
}

时间复杂度

对于一棵bushy BST(稠密的二叉搜索树)，当结点个数N为2的整次幂时，由于树的高度为\(log_{2}N\),其查询的时间复杂度为\( \Theta(logN) \)

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4.BST的插入

在二叉搜索树中插入某个值:

• 先在BST中查询该值，如果找到了，do nothing

• 如果没找到

  • 申请一个新的结点，设置key为插入值
  • 建立与父节点的连接(指针)

例如下图二叉搜索树字母按字典排列，现在要向其中插入eyes:

大于dog-->进入右子树-->小于flat-->进入左子树-->大于elf-->作为其右孩子

伪代码:

static BST insert(BST T, Key ik) {
  if (T == null)
    return new BST(ik);
  if (ik ≺ T.key)
    T.left = insert(T.left, ik);
  else if (ik ≻ T.key)
    T.right = insert(T.right, ik);
  return T;
}

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5.BST的删除

三种情况:

• 待删除结点无孩子
• 待删除结点有一个孩子
• 待删除结点有两个孩子

情况1:
直接将其删除，随后被垃圾回收器回收

情况2:
假设我们要删除flat，删除之后一定要保持BST的性质,那么将flat的父节点dog指向flat的子树elf即可

情况3:

删除k
如果对二叉搜索树进行中序遍历，那么得到的结果就是一系列有序的字符，如图即abdefgkmprvxyz
假如我们称中序顺序中某一结点的前一个结点为前驱，后一个结点为后继，那么就是相当于用前驱或后继替换该结点的过程
由于本次课并没有讲中序遍历，以Josh的定义:

• 前驱:所有小于当前结点的最大值，k的左子树中，最右端结点，g
• 后继：所有大于当前结点的最小值，k的右子树中，最左端的结点，m

因此在g和m中二选一，将其作为新的根节点，替换掉k即可，假设我们选择g，需要做的是:

1. 删除g,回到情况2，将g的父亲e指向g的孩子f
2. 将k替换为g

有人可能有疑问，假设前驱或后继有两个孩子，那么删除操作会变得更加复杂?
事实上，前驱或后继只有一个孩子或没有孩子，例如:

• 前驱至多只能有左孩子，假设前驱有右孩子，那么右孩子的值肯定大于前驱且小于根结点，出现矛盾
• 后继至多只能有右孩子，假设后继有左孩子，那么左孩子的值肯定小于后继且大于根节点，违反定义

以上删除结点的方法被称作Hibbard deletion

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6.TreeMap的例子

回想一下前面我们使用Map统计单词与其出现次数之间的映射关系，使用BST也可以实现

这就类似于TreeMap。