堆排序 heapSort

1. 介绍

1）什么是堆？

堆是一棵顺序存储的完全二叉树。

每个结点的关键字都 小于或等于 其所有子结点的关键字，这样的堆称为小根堆。

每个结点的关键字都 大于或等于 其所有子结点的关键字，这样的堆称为大根堆。

2）什么是堆排序？

堆排序Heapsort是指利用堆这种数据结构来进行排序的选择排序算法。堆积是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足子结点的值总是小于（或者大于）它的父节点。

• 小根堆 在排序算法中的结果是 降序 排列；
• 大根堆 在排序算法中的结果是 升序 排序；

3）注意：

• 堆排序 只适用于 顺序结构。
• 堆排序的平均时间复杂度是 O(nlongn)，最好和最坏的时间复杂度也是 O(nlongn)。空间复杂度是 O(n)
• 堆排序是先建堆，依此输出堆顶元素（把堆顶元素换到数组后面）后调整堆。

2. 算法步骤

以 大根堆 为例，

• 创建一个大根堆
• 交换堆顶和最后一个元素，剩下的元素重新调整为 大根堆

3. 完整代码

堆排序的全部代码如下（代码使用 Java 编写）：

public void heapSort(int[] nums) {
    // 1. 构建大根堆
    build(nums);
    // 2. 输出堆顶元素后调整堆为大根堆
    for (int i = nums.length - 1; i >= 0; i--) {
        adjust(nums, 0, i);
    }
}

public void build(int[] nums) {
    // 从最后一个非叶子节点开始，反复调整堆
    for (int i = (nums.length - 2) >> 1; i >= 0; i--) {
        adjust(nums, i, nums.length - 1);
    }
}

// 以 root 为根节点调整堆为大根堆
public void adjust(int[] nums, int root, int endIndex) {
    int lastNonLeaf = (endIndex - 1) >> 1;
    int maxValueIndex = root, leftChildIndex = 0, rightChildIndex = 0;
    int index = root;
    // 沿最大的子节点的那棵树找
    while (index <= lastNonLeaf) {
        // 找最大值
        leftChildIndex = (index << 1) + 1;      // index << 1 不加括号会优先计算 +. 因为 << 的优先级小于 +
        rightChildIndex = (index << 1) + 2;
            maxValueIndex = index;
        if (leftChildIndex <= endIndex && nums[maxValueIndex] < nums[leftChildIndex])
            maxValueIndex = leftChildIndex;
        if (rightChildIndex <= endIndex && nums[maxValueIndex] < nums[rightChildIndex])
            maxValueIndex = rightChildIndex;
        if (maxValueIndex == index) break;
        // 交换
        int tmp = nums[index];
        nums[index] = nums[maxValueIndex];
        nums[maxValueIndex] = tmp;
        // 下次遍历的节点
        index = maxValueIndex;
    }
}

4. 代码说明

以 无序序列 a = [1,3,4,5,2] 为例，经过堆排序得到的排好序的数组是 a = [1,2,3,4,5] （也可以降序排列）。从此可以看出，把堆排序看成一个处理过程，那堆排序的输入是一个无序数组（链表不可以），输出是一个有序数组。这里以大根堆为例

堆排序

一个无序序列 a = [1,3,4,5,2] ，看出完全二叉树的物理存储结构。先建成一个初始的大根堆，建堆完成之后，数组是一个大根堆 a = [5,3,4,1,2] 。建堆完成之后，就需要将大根堆依次调整为有序序列 a = [1,2,3,4,5] 。

4.1 建堆

建堆的过程，就是从最后一个父节点开始，把每一棵树调整为堆的过程。

public void build(int[] nums) {
    // 从最后一个非叶子节点开始，反复调整堆
    for (int i = (nums.length - 2) >> 1; i >= 0; i--) {
        adjust(nums, i, nums.length - 1);
    }
}

首先来看一下，如果将一个无序序列建成大根堆。 a = [1,3,4,5,2] 画成完全二叉树之后，最后一个父节点是 [3] 。从二叉树的最后一个父节点 [3] 开始，依次向前遍历每一个父节点，直到根节点 [1] 为止。

从最后一个父节点开始要做什么事情呢？？

以当前父节点为根节点的二叉树，也就是 [3,5,2] ，将其调整为大根堆。

最后一个父节点的下标怎么计算？？

节点下标是节点在数组中的位置，所以是从 0 到 array.length - 1 。

如果一个节点下标是 i ，那么它的左子叶节点下标是 2*i+1 ，右子叶节点下标是 2*i+2。

所以，如果数组中最后一个父节点下标为 i ，最后一个元素下标是 endIndex ，那么，最后一个元素一定是最后一个父节点的子节点。所以，就有 2*i + 1 <= endIndex 和 2*i + 2 <= endIndex ，所以可以得到最后一个父节点的下标是 (endIndex - 1) / 2，使用位移运算计算是 (endIndex - 1) >> 1 。

建堆为什么是从最后一个非叶子节点 (array.length - 2) >> 1 开始向前遍历，而不是从 array.length - 1 开始？

因为要保证调整堆时的参数是有意义的，没有越界产生。调整堆的代码中并没有判断下标是否合法。

建堆的顺序是按层次遍历的顺序遍历的，数组按从 (array.length - 2) >> 1 到 0 访问，是按层次遍历的方式向前遍历的。

4.2 调整堆

调整堆的过程，就是把堆顶元素放在合适的位置。

// 以 root 为根节点调整堆为大根堆
public void adjust(int[] nums, int root, int endIndex) {
    int lastNonLeaf = (endIndex - 1) >> 1;
    int maxValueIndex = root, leftChildIndex = 0, rightChildIndex = 0;
    int index = root;
    // 沿最大的子节点的那棵树找
    while (index <= lastNonLeaf) {
        // 找最大值
        leftChildIndex = (index << 1) + 1;      // index << 1 不加括号会优先计算 +. 因为 << 的优先级小于 +
        rightChildIndex = (index << 1) + 2;
        maxValueIndex = nums[index] < nums[leftChildIndex] ? index : leftChildIndex;
        if (rightChildIndex <= endIndex && nums[rightChildIndex] < nums[leftChildIndex])
            maxValueIndex = rightChildIndex;
        if (maxValueIndex == index) break;
        // 交换
        int tmp = nums[index];
        nums[index] = nums[maxValueIndex];
        nums[maxValueIndex] = tmp;
        // 下次遍历的节点
        index = maxValueIndex;
    }
}

将哪个区间内的元素调整为堆？？

[root, endIndex] ，包含左右两个下标的元素。因为调整堆adjust()的代码中并没有判断数组下标的合法性，所以传入的参数要是合法的。

怎么调整？？

首先，调整的前提是，这个树满足堆的性质，除了堆顶元素。

1）找出左右子节点中的最大值，然后和堆顶元素比较。

• 如果堆顶元素较大，则不用交换，跳出循环。
• 如果孩子节点较大，则将堆顶元素和较大的孩子节点交换。

2）继续调整下一个节点

调整的顺序是按层次遍历的顺序遍历的，数组按从 0 到最后一个非叶子节点 lastNonLeaf 访问，是按层次遍历的方式遍历的。