解决问题的思路

解决问题的思路

1. 首先真正理解题意，看能不能转换为一般性问题
2. 对一般性问题寻找最简的模型（或控制变量，或等比缩减规模）进行求解
3. 求解过程中不断总结规律
4. 看能不证明这些总结来的规律
5. 看能不能应用到实际的其他场景中，发散思维

案例：

100的99次方和99的100次方哪个大？

原文：李永乐老师 https://www.youtube.com/watch?v=WXW2b0eJVsg

怎么解决这个问题呢？

1. 理解题意：

​ 100的99次方可以看做有99个100的数相乘

​ 99的100次方即100个99的数相乘

​ 这里可以看到是和为9900的一个大数，怎么平均分拆，使得乘积最大？

​ 转为一般性问题：对一个确定的数，怎么平均分拆，可以使得乘积最大？

2. 寻找最简模型：

​ 9900的分拆情况太多了，我们找一个小规模的问题，我们缩减到12这个数

​ 12可以分解为：

• • 1+1+1+...+1 1的12次方 =1
  • 2+2+2+2+2+2 2的6次方 =64
  • 3+3+3+3 3的4次方 =81
  • 4+4+4 4的3次方 =64
  • 6+6 6的2次方 =36

3. 总结规律：

   • 不要拆1
   • 我们看到3的时候最大
   • 比3大的越多结果越小
   • 拆不了3就拆2或4

4. 验证原问题：

   9900是拆为99的100次方还是拆为100的99次方，按规律可知离e越近的结果越大，所以我们选99的100次方大

5. 证明规律：

   设:
   f(x)=lnx/x
   f'(x)=(1-lnx)/x^2
   x>0 时f'(x)恒小于0
   f(x)为减函数
   x为e时即2.71828时最大，即越靠近e越大，所以整数时就为3，然后是2,4,5...
   
   f(100)<f(99)
   即ln100/100<ln99/99
   移项得99ln100<100ln99
   即100^99<99^100

6. 应用：

   • 进制的选择：有100个算盘珠子，选几进制可以表示出尽量多的数？

     我们常用的10进制，就是10的10次方，最多100个数

     如果是计算机的2进制，就是2的50次方，最多1.1258999e+15个数

     如果是3进制，就是3的33次方，最多5.5590606e+15个数

     按上面的规则，我们知道选3进制

• 计算机选3进制效率较高，但电信号的01是更可靠的表示，所以计算机选择了2进制