《剑指offer》之利用单调栈法求直方图最大矩形面积

问题描述

• 直方图是由排列在同一基线上的相邻柱子组成的图形。
• 输入是一个由非负数组成的数组，数组中的数字是直方图中柱子的高。
• 假设直方图中柱子的宽都为 1。

求直方图中最大矩形面积？

例如：输入数组[3,2,5,4,6,1,4,3]，其对应的直方图如下图1所示，该直方图中最大矩形面积为12，如阴影部分所示：

问题分析

矩形的面积等于宽 * 高，因此只要先确定每个矩形的宽和高就能计算出该矩形的面积。

假如直方图中的一个矩形从下标 i 的柱子开始，到下标 j 的柱子结束。

如何确定这个矩形的宽高？

• 宽：(j - i + 1) * 1;
• 高：i 到 j 范围内高度最小的柱子的高度为该矩形的高。

例如，图1中从下标为2（i=2）的柱子到下标为4（j=4）的柱子之间的矩形的宽度为 4-2+1=3；高为 4（三根柱子之间最小的高度为 4）。所以面积为 4*3=12。

暴力破解（枚举）

假如能枚举直方图中所有的矩形，并比较它们的面积，便能找到最大的矩形面积。利用两重循环就能实现。代码如下：

<?php

function largestRectangleArea($heights){

    $maxArea = 0;

    for($i=0;$i<count($heights);$i++){

        $min = $heights[$i];

        for($j=$i;$j<count($heights);$j++){

            // 找到下标从 i 到 j 最小的高度

            $min = min($min,$heights[$j]);

            $area = $min * ($j - $i + 1);

            $maxArea = max($maxArea,$area);

        }

    }

    return $maxArea;

}

$heights = [3,2,5,4,6,1,4,3];

$re = largestRectangleArea($heights);

echo $re; // 输出：12

时间复杂度分析：

如果输入数组的长度为 n，直方图中总共有 O(n²) 个矩形。

计算矩形的面积需要O(1)的时间，那么这种解法的时间复杂度为O(n²)。

进行优化

从左到右的遍历是免不了的。假如以当前柱子的高度为高 h_i，当前柱子与其他柱子组成的矩形最大，面积为  maxArea_i。依次比较 maxArea_i，就可以得到问题的解。

怎么确保以当前柱子的高度为高时，矩形的面积最大？

那么对于每一个柱子，求解它左右的第一个小于它的元素。

什么意思呢？以下标是 3 的柱子为例：该柱子的高度为 4，左边第一个小于 4 的柱子是下标为 2 的柱子，右边第一个小于 4 的柱子是下标为 5 的柱子。当下标为 3 时，最大的矩形如图的阴影部分所示:

以下是各个柱子所能达到的最大的矩形：

那么对于每一个柱子，该如何求解它左右的第一个小于它的元素呢？这里就用到了单调栈了。

什么是单调栈法

单调栈是一种和单调队列类似的数据结构。

单调队列主要用于 O(n) 解决滑动窗口问题，单调栈则主要用于 O(n) 解决NGE问题（Next Greater Element）。

也就是，对序列中每个元素，找到下一个比它大的元素。（当然，“下一个”可以换成“上一个”，“比它大”也可以换成“比他小”，原理不变。）

在这个例子中，我们要求解每个点左右的第一个小于它的元素，即 NSE 问题（Next Smaller Element）。

这比单调队列还简单一点：

• 我们维护一个栈，表示“待确定 NSE 的元素”，然后遍历序列。
• 当我们碰上一个新元素，我们知道，越靠近栈顶的元素离新元素位置越近。所以不断比较新元素与栈顶，如果新元素比栈顶小，则可断定新元素就是栈顶的 NSE，于是弹出栈顶并继续比较。
• 直到新元素不比栈顶小，再将新元素压入栈。显然，这样形成的栈是单调递增的。

单调栈法的具体实现

1. 完整代码：

<?php

function largestRectangleArea($heights){
    $stack = [-1];
    $count = count($heights);
    $maxArea = 0;
    for($i=0;$i<$count;$i++){
        // 栈顶元素不等于 -1 并且当前柱子的高度比下标为栈顶的柱子的高度小则出栈。
        while(array_peek($stack) != -1 && $heights[$i] <= $heights[array_peek($stack)]){
            $height = $heights[array_pop($stack)];
            $width  = $i - array_peek($stack) - 1;
            $maxArea = max($maxArea,$height * $width);
        }
        // 直到当前柱子的高度不比下标为栈顶的柱子的高度小，再将当前柱子的下标压入栈。
        array_push($stack,$i);
    }
    while(array_peek($stack) != -1){
        $height = $heights[array_pop($stack)];

        // 矩形的宽度。
        // 栈中存储的是柱子的下标。如果当前柱子的高度小于栈顶柱子的高度，那么矩形的宽度就为当前柱子的下标减去栈顶柱子的下标再减1。
        $width  = $count - array_peek($stack) -1;
        $maxArea = max($maxArea,$height *$width);
    }
    return $maxArea;
}

// 辅助函数，用于获取栈顶的元素，换句话说是获取数组的最后一个元素。
function array_peek(array $arr){
    return $arr[count($arr)-1];
}

$heights = [3,2,5,4,6,1,4,3];
$re = largestRectangleArea($heights);
echo $re; // 输出：12

2. 模拟一下示例的过程：

初始输入：

$heights = [3,2,5,4,6,1,4,3];

$stack   = [-1]; -1 可以理解为整个直方图最左边的一个高度为0，下标为 -1的柱子。如图：

说明：

$stackPeek = array_peek($stack);（栈顶，数组的最后一个元素）

$i	$hights[$i]	$stackPeek	$heights[$stackPeek]	动作	$stack
0	3	-1	不存在	$i=0入栈	[-1,0]
1	2	0	3	0出栈	[-1]
1	2	-1	不存在	$i=1入栈	[-1,1]
2	5	1	2	$i=2入栈	[-1,1,2]
3	4	2	5	2出栈	[-1,1]
3	4	1	2	$i=3入栈	[-1,1,3]
4	6	3	5	$i=4入栈	[-1,1,3,4]
5	1	4	6	4出栈	[-1,1,3]
5	1	3	4	3出栈	[-1,1]
5	1	1	2	1出栈	[-1]
5	1	-1	不存在	$i=5入栈	[-1,5]
6	4	5	1	$i=6入栈	[-1,5,6]
7	3	6	4	6出栈	[-1,5]
7	3	5	1	$i=7入栈	[-1,5,7]

遍历完数组之后，栈中还剩下一些“待确定NSE的元素”，不过已经没有比这些元素更矮的柱子了，所以只需要依次出栈即可，直到栈顶的值为 -1。

$stack	$stackPeek	等于-1？	动作
[-1,5,7]	7	否	7出栈
[-1,5]	5	否	5出栈
[-1]	-1	是	结束

出栈意味着已经具备了处理该柱子的条件。

出栈的顺序：0 -> 2 -> 4 -> 3 -> 1 -> 6 -> 7 -> 5 。如图：

时间复杂度

假设输入数组的长度为 n。直方图的每根柱子都入栈、出栈一次，并且在每根柱子的下标出栈时计算以它为顶的最大面积，这些操作对每根柱子而言时间复杂度是O(1)，因此这种单调栈法的时间复杂度是O(n)。

总结

这里得到的一个通用思路就是：

利用单调栈的特性，可以在线性时间内求得每一个点它的左右第一个比它大/小的点。

类似问题

1. 矩阵中的最大矩形问题。

2. 每日温度。

3. the next greater number 问题。

参考资料

1. 《剑指offer》

2. 《单调栈的两个应用问题（最大矩形）》

3. 《算法学习笔记(67): 单调栈》