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在计算机科学中,循环不变量(loop invariant),是一组在循环体内、每次迭代均保持为真的某种性质,通常被用来证明程序或算法的正确性。

理解循环不变量这个概念对我们理解算法过程,和解决算法问题有很大的帮助。下面参考《算法导论》,对循环不变量的概念进行详细的解释。

我们使用循环不变量帮助我们理解一个算法为什么是对的。对于一个给定的循环不变量,我们必须遵循以下三个属性:

  • 初始化: 在循环的第一次迭代之前,循环不变量为真。
  • 保持: 如果在循环的一次迭代之前循环不变量为真,那么在下一次迭代之前循环不变量同样为真。
  • 终止: 当循环结束时,不变量能够提供我们有用的属性,用于帮助我们证实算法是正确的。

当保证前两个属性时,循环不变量在循环的任意迭代之前都满足。注意它与数学归纳法的相似性,当你想证明一个属性存在时,你需要证明一个基准和一个归纳步。相应的,我们第一次迭代之前保证不变量成立对应于一个基准,我们在每次迭代之间保证不变量成立对应于一个归纳步。

因为我们用循环不变量证明算法正确性,所以第三个属性或许是最重要的。通常,我们必须保证在循环结束时“循环不变量”和“循环终止条件”同时成立。 这与数学归纳法有所不同。数学归纳法常采用无限的归纳步,而循环不变量的归纳往往随着循环的终止而结束。

接下来,我们通过插入排序算法来更好的理解循环不变量。
先贴代码(Go语言)

func insertionSort(nums []int) {
   j, n := 0, len(nums)
   for j < n {
      i := j - 1
      key := nums[j]
      for i >= 0 && nums[i] > key {
         nums[i+1] = nums[i]
         i--
      }
      nums[i+1] = key
      j++
   }
}

循环不变量: j之前(不包含nums[j])的元素已经排好序(升序)。

  • 初始化: j0,表示目前排好序的子数组没有元素,不变式成立。
  • 保持: 如果前一轮迭代j满足条件,则[0,j)范围内子数组的元素均为升序。当前迭代中nums[j+1]与子数组的元素从大到小进行对比。如果找到第一个比nums[j+1]小的元素,则在其后插入一个值为nums[j+1]的元素。因此在此次迭代结束后,[0,j+1)范围内子数组的元素均为升序,不变式成立。
  • 终止: j不断递增,当j == n 时,所有数组的元素均被遍历处理,此时[0,n)为升序,不变式成立。

经过以上三个属性的证明,可以最终得出整个输入数组nums为升序的结论,满足算法的目的,同时也验证了算法的正确性。


DecXu
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