这个彬彬就是逊啦—才搞懂小学知识求最小公倍数

HJ108 求最小公倍数

前言

这个彬彬就是逊啦，不会求两个整数的最小公倍数，不过没事啦，我超勇的啦，我来帮彬彬求解！

下面进入紧张刺激的环节，看题时间到！不妨来看看这个困扰彬彬的题，请往下看啦！

题目

正整数 a 和正整数 b 的最小公倍数是指 能被 a 和 b 整除的最小的正整数值

设计一个算法，求输入 a 和 b 的最小公倍数。

数据范围：$1 \le a,b \le 100000 $

输入描述：

输入两个正整数A和B。

输出描述：

输出A和B的最小公倍数。

示例1

输入：
5 7
输出：
35

前置知识

如果你熟悉最小公倍数、最大公约数、倍数、约数、整除、除以、除，这些概念，这部分的内容可以直接跳过啦。

Least Common Multiple：最小公倍数

两个整数 或者 多个整数，共同拥有的倍数，就是公倍数，除了 0 以外，最小的共有的倍数称为「最小公倍数」。

• 整数 a , b 的最小公倍数记为：[a, b]
• 整数 a , b , c 的最小公倍数记为：[a, b, c]

以此类推。

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另一个概念：最大公约数（最大公因数）Greatest Common Divisor

两个整数 或者 多个整数，共同拥有的约数，就是公约数，其中最大的约数就是「最大公约数」。

• 整数 a , b 的最大公约数记为：(a, b)
• 整数 a , b , c 的最大公约数记为：(a, b, c)

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倍数 和 约数 的概念

如果数 a 能被数 b 整除，则 a 就叫做 b 的「倍数」，b 就叫做 a 的「约数」。

约数和倍数都表示一个整数与另一个整数的关系，是不能单独存在的。

需要注意「倍」和「倍数」是不同的意思！

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整除的概念

整数 a 除以整数 b，即 a ÷ b，商为整数，且余数为 0，其中 a 称为「被除数」，b 称为「除数」，记为 b|a（其中符号 | 是整除的意思），读作 b 能整除 a，a 能被 b 整除。b 称为 a 的约数，a 称为 b 的倍数。

我这里举几个例子：

$12 ÷ 4 = 3$

读作 12 除以(divide by) 4，或者 4 除(divide) 12，可以理解成用 4 去拆分 12，可以分成 3 份。

• 12 为被除数，4 为除数，3 为商
• 4 是 12 的约数， 12 是 4 的倍数

同理

$12 ÷ 2 = 6$

读作 12 除以 2，可以理解用2去拆分12，可以分成6份

• 12 为被除数，2 为除数，6为商
• 2 是 12 的约数， 12 是 2 的倍数

同理

$12 ÷ 1 = 12$

读作 12 除以 1，可以理解成用1去拆分12，可以分成12份

• 12 为被除数，1 为除数，12为商
• 1 是 12 的约数， 12 是 1 的倍数

再来看看这个例子：

$16 ÷ 4 = 4$

• 16 是被除数，4 是除数，商为4
• 4 是 16 的约数，16 是 4 的倍数

$16 ÷ 2 = 8$

• 2 是 16 的约数，16 是 2 的倍数

$16 ÷ 1 = 16$

• 1 是 16 的约数，16 是 1 的倍数

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从上面我们可以发现 12 和 16 的共同拥有的约数是 1，2，4，其中最大的约数是 4。

所以记 12 和 16 的最大公约数为：(12, 16) = 4

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4 的倍数有 4 8 12 16 24 ...

6 的倍数有 6 12 18 24 ...

4 和 6 共同拥有的倍数是 12 24 ...，其中最小的倍数是12

所以记4和6的最小公倍数为：[4, 6] = 12

这样一梳理，是不是通透了许多~（不通透当我没说）

解题思路

最小公倍数和最大公约数有这样的定理：$(a, b) × [a, b] = a × b$

即 这两数的最小公倍数 × 这两数的最大公约数 = 这两数相乘

所以，我们想求两个数的最小公倍数，就可以先求出这两数的最大公约数，进而求出这两数的最小公倍数

通过 这两数相乘 ÷ 这两个数的最大公约数 = 最小公倍数 进行求解。

即 $[a, b] = a × b ÷ (a, b)$

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那么问题来了，如何求最大公约数呢？？

有好几种方法，比如短除法、辗转相除法、更相减损法，这里先用更相减损法。

更相减损法

更相减损法：也叫更相减损术，是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。

算法步骤是这样的：

1. 先判断两数是否为偶数，是偶数则用 2 先进行约简，直到两数其中之一不为偶数
2. 以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
3. 将第一步中约掉的若干个 2 与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。

那么我们就按这个步骤来写求两个数的最大公约数的代码：

public static int getGreatestCommonDivisor(int a, int b) {
        // 记录两数是偶数时，约掉2的次数
        int cnt = 0;
        // 记录最大公约数
        int ans = 1;
        // 判断两数是否为偶数，是偶数则用2先进行约简
        while ((a & 1) == 0 && (b & 1) == 0) {
            a >>= 1;
            b >>= 1;
            ++cnt;
        }
        // 以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。
        // 继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
        while (a != b) {
            if (a > b) {
                a -= b;
            } else {
                b -= a;
            }
        }
        // 计算得最大公约数
        if (cnt != 0) {
            ans = a * (cnt << 1);
        } else {
            ans = a;
        }
        return ans;
    }

代码

public class Main {

    public static int getGreatestCommonDivisor(int a, int b) {
        // 记录两数是偶数时，约掉2的次数
        int cnt = 0;
        // 记录最大公约数
        int ans = 1;
        // 判断两数是否为偶数，是偶数则用2先进行约简
        while ((a & 1) == 0 && (b & 1) == 0) {
            a >>= 1;
            b >>= 1;
            ++cnt;
        }
        // 以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。
        // 继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
        while (a != b) {
            if (a > b) {
                a -= b;
            } else {
                b -= a;
            }
        }
        // 计算得最大公约数
        if (cnt != 0) {
            ans = a * (cnt << 1);
        } else {
            ans = a;
        }
        return ans;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        while (in.hasNext()) {
            int a = in.nextInt();
            int b = in.nextInt();
            int lcm = (a * b) / getGreatestCommonDivisor(a, b);
            System.out.println(lcm);
        }
    }
}

最后的最后

由本人水平所限，难免有错误以及不足之处， 屏幕前的靓仔靓女们 如有发现，恳请指出！

最后，谢谢你看到这里，谢谢你认真对待我的努力，希望这篇博客对你有所帮助！

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