卫星运动的微分方程

卫星轨道微分方程：

  卫星运动中的有心力是保守力，机械能守恒定律成立.因此，我们可以采用总能量来讨论卫星轨道的具体形式.在平方反比引力问题中，力$F(r)$的具体形式已知.

  因为有心力是保守力，故一定存在势能$V$，有

$$F=- \nabla V(1)$$

$$V= \int-F(r)dr=\int \frac{k^2m}{r^2}dr(2)$$
  (2)式中$k^2=Gm_地$是一个与卫星无关而只和地球有关的量，$r$为卫星和地球之间的距离， $m$为卫星质量.取无穷远处的势能为零，则得质点在距力心为$r$时的引力势能为：

$$V(r)=\int_{0}^{r} \frac{k^2m}{r^2}dr=-\frac{k^2m}{r}(3)$$

  我们在研究有心力问题时，如图1所示，通常将机械能守恒定律和动量矩守恒定律结合起来.常用如下两个方程作为基本方程：

$$\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2 \dot{\theta^2})+V(r)=E(4)$$

$$r^2 \dot{\theta}=h(5)$$

  式子中$h$是常数
  联立$(3)$和$(4)$式可得：
$$\frac{1}{2}m\left( \dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 \right) -\frac{k^2m}{r}=E(6)$$

  为了消去$(6)$式中的$dt$ ，我们先做如下变换：

$$\dot{r}=\frac{dr}{dt}=\frac{drd\theta}{d\theta dt}(7)$$
  将$(5)$带入$(7)$可得：

$$ \dot{r}=\frac{dr}{dt}=\frac{drd\theta}{d\theta dt}=\frac{h}{r^2}\frac{dr}{d\theta}(8) $$

  将$(6)和(8)$联立可得：

$$ \frac{1}{2}m\left[ \frac{h^2}{r^4}\left( \frac{dr}{d\theta} \right) ^2+\frac{h^2}{r^2}-\frac{2k^2}{r} \right] =E(9) $$

  解出$\frac{dr}{d\theta}$ ，并分离变量并积分可得：

$$ \mathrm{arc}\sin \frac{2k^2r-2h^2}{r\sqrt{4k^4+\frac{8Eh^2}{m}}}=\theta +\frac{3}{2}\pi -\theta _0(10) $$

$$ r=\frac{h^2/k^2}{1+\sqrt{1+2h^2E/k^4m}\left[ \cos \left( \theta -\theta _0 \right) \right]}(11) $$

  已知极坐标系的标准圆锥曲线方程为：

$$ r=\frac{p}{1+e\cos \theta}(12) $$

  令$p=\frac{h^2}{k^2}$ ，$e=\sqrt{1+\frac{2E}{m}\left( \frac{h}{k^2} \right) ^2}$，所以可以将式$(11)$改写成$(12)$式的形式.
由式$(12)$可知，因为$\frac{2}{m}\left( \frac{h}{k^2} \right) ^2$
的值恒为正，所以总能量 决定了卫星轨道的形状.

  下面我们分类讨论：

$E<0$ ，则 $e<1$,轨道为椭圆；

$E=0$ ，则 $e=1$,轨道为抛物线；

$E>0$ ，则 $e>1$,轨道为双曲线.

数值模拟

1、圆轨道

2、椭圆轨道

3、抛物线轨道

3、双曲线轨道

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