树与二叉树

1.树的一些结论：

（1）整个树的节点个数=所有结点的度数+1

（2）一个概念的辨析：树的度（例如为n)和m叉树
树的度：表示一个树必有一个节点的度为n，且一定不为空树，节点数最少为n+1
m叉树：可以为空树，可以所有节点的度都小于m

2.二叉树的一些结论

（1）非空二叉树中：n0=n2+1

（2）完全二叉树的话：n1一定为0或1，n0与n2的和一定为奇数

3.二叉树的顺序存储

struct TreeNode{
      Elemtype value; 
      bool isEmpty;
} 

二叉树的顺序存储，是通过数组存储的。但无论是不是完全二叉树，都必须按照完全二叉树来进行存储。如果那个位置没有树，就填0，但那个位置必须有。（即最坏情况：哪怕是高度为h的，只有h个节点的树（只有右结点），也需要2的h次方减一个存储单位）

所以，一般来说，顺序存储，只适合完全二叉树。（但不是完全的也可以，但比较浪费）

4.二叉树的链式存储

typedef struct BitNode{
      Elemtype data;
      struct BitNode *lchild,*rchild;
}BitNode,*BitTree;

n个节点，应该有2n个指向域，但只会有n-1个指针，所以一定有n+1个空链域。

因为二叉树方便找左右孩子节点，但不方便找父亲节点，所以可以引入一个父亲节点。

typedef struct BitNode{
      Elemtype data;
      struct BitNode *lchild,*rchild;
      struct BitNode *parent;
}BitNode,*BitTree;

5.二叉树的遍历（全部需要栈，无论是不是递归算法，但是线索的前中不需要，线索后需要）
先序——前缀表达（给定先序序列，二叉树数量为2n!/n!/n!/(n+1)）
中序——中缀表达
后序——后缀表达
层序遍历：从上到下，从左至右

6.由遍历推二叉树
前/后/层次+中可以推（都是先找根节点在哪，然后在分左右子树，再推）

7.线索二叉树（一种逻辑与存储（物理）结构）（空链域是指没有孩子指针也没有线索指针）

typedef struct ThreadNode{
      Elemtype data;
      struct ThreadNode *lchild,*rchild;
      int ltag,rtag;------左右线索标志
}ThreadNode,*ThreadTree;

中序线索化（只要没有左右孩子，ltag和rtag就为1）

先序线索化（只有先序线索化会有转圈的问题（第一张图，在D这个点时，会发送转圈的情况），只有ltag=0 才能先序线索化）

后序同中序（基本代码相同）

线索二叉树找前序和后继（先序二叉树找前驱和后序二叉树找后继都需要使用三叉链表，找父节点，然后再找）

8.树

（1）双亲表示法

增：新增元素，直接在表中添加即可，无需按顺序

删：（1）将后面的数字改为-1（会增加空数据，降低效率） （2）删除该元素以及其子元素（如果有）

优点：查找双亲方便
缺点：查找孩子节点需要从头遍历

（2）孩子表示法

（3）孩子兄弟表示法（即树与二叉树的转换）

（4）森林和树的转换

（5）树的遍历
树的先根遍历——对应二叉树的先序遍历（深度优先遍历）

树的后根遍历——对应二叉树的中序遍历（深度优先遍历）

树的层序遍历——从上至下，从左至右（广度优先遍历）

（6）森林的遍历
森林的先序遍历——所有树的先序遍历

森林的中序遍历——所有树的后序遍历

遍历总结：

（7）哈夫曼树的构造

（8）如何对数据编码（无前缀编码：即所有的字母或数据皆为叶子节点）

9.并查集

（1）概念和基本操作

并查集为一个个树的集合，ACD为根结点，数列中的数字表示父节点的数组下标，而根节点的为-1.

最简单的查找和合并代码如右边所示。

（2）

合并操作的优化：将两个树合并为一个时，查找某个数据，最差的时间复杂度相当于O(n)，所以我们在合并时需要将树的高度弄得尽量小，即将小树合并到大树里面。

所以我们在数组中用树的结点的相反数做对应数组的值

（3）

查找操作的优化：

从L一直向上查询到根节点A的路径叫查找路径，优化方式为压缩路径，先通过查找路径找到根节点，再把路径上的所有结点的父节点变为根节点。

优化的本质是把树变矮，时间复杂度减小