一道经典的动态规划入门题——leetcode64

wric福建

image.png

动态规划的几个前提条件:
最优子结构性质
无后向性
子问题的重叠性

显然这道题是满足动态规划的解题条件的
每个路径的长度取决于之前路径的值
求解最大路径的过程中需要多次用到之前求出的子路径的长度
易得状态转移方程为

当 i>0 且 j>0 时,
image.png
当i或j有一个等于0时,则无需考虑子路径的选择,即为
image.png

代码

func minPathSum(grid [][]int) int {
    //构建一个二维数组
    m,n:=len(grid),len(grid[0])
    order:=make([][]int,m)
    for i:=range order{
        order[i]=make([]int,n)
    }
    //计算路径长度
    order[0][0]=grid[0][0]
    for i:=1;i<n;i++{
        order[0][i]=order[0][i-1]+grid[0][i]
    }
    for i:=1;i<m;i++{
        order[i][0]=order[i-1][0]+grid[i][0]
    }
    for i:=1;i<m;i++{
        for j:=1;j<n;j++{
            order[i][j]=grid[i][j]+min(order[i-1][j],order[i][j-1])
        }
    }
    return order[m-1][n-1]

}
func min(a int,b int)int{
    if a<b {return a}
    return b
}

效果
image.png

此时
时间复杂度:O(mn),其中 m 和 n 分别是网格的行数和列数。需要对整个网格遍历一次,计算 dp 的每个元素的值。

空间复杂度:O(mn),其中 m 和 n 分别是网格的行数和列数。创建一个二维数组 dp,和网格大小相同。

空间复杂度可以优化,例如每次只存储上一行的 \textit{dp}dp 值,则可以将空间复杂度优化到 O(n)O(n)

代码

func minPathSum(grid [][]int) int {
    //构建一个二维数组
    m,n:=len(grid),len(grid[0])
    last:=make([]int,n)
    now:=make([]int,n)

    last[0]=grid[0][0]
    for i:=1;i<n;i++{
        last[i]=last[i-1]+grid[0][i]
    }
    now=last
    for i:=1;i<m;i++{
        now[0]=last[0]+grid[i][0]
        for j:=1;j<n;j++{
            now[j]=grid[i][j]+min(last[j],now[j-1])
        }
        last=now
    }
    return now[n-1]

}
func min(a int,b int)int{
    if a<b {return a}
    return b
}

效果
image.png

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