异或的4种堪称神奇的运用场景

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简介

众所周知，编程语言一般都内置了3种位运算符&(AND)、|(OR)、~(NOT)，用来实现位运算，但其实还有一种非常常用的位运算，即异或^(XOR)，数学中常用⊕表示。

异或的运算逻辑如下：
1 ⊕ 1 = 0
1 ⊕ 0 = 1
0 ⊕ 1 = 1
0 ⊕ 0 = 0

简单来说，异或的特性是，两个值相同，结果为0，不同则结果为1，所以才叫异或嘛，两个值相异再或起来，不就是1嘛😂

由于异或特殊的运算特性，使其可以实现一些神奇的操作，如下：

1. 实现加减法
2. 加解密
3. 密钥交换
4. 数据备份

那就来一起看看吧！

运算定律

1. 任何值与自身异或，结果为0

   x ^ x = 0

2. 任何值与0异或，结果为其自身

   x ^ 0 = x

3. 交换律

   x ^ y ^ z = x ^ z ^ y

4. 结合律

   x ^ y ^ z = x ^ (y ^ z)

   异或的运算定律比较简单，就不写数学证明了，感兴趣可到网上搜索。

实现加减法

XOR的第一种运用场景就是实现加减法，在我们上小学时，应该都学过进位加法与退位减法来做加减运算，咱们来复习一下吧。

• 进位加法：
  当某一位上两数之和大于10时，需要进位，即高位上要多加一个1。
  
• 退位减法：
  当某一位上两数相减不够时，需要退位，即从高位上借(减)一个1，来当作10用。
  

异或其实与这个类似，不过它不会产生进位与退位，如下：

1. 如二进制加法01 + 01 = 10，而异或运算是01 ^ 01 = 00，它其实做了加法，但高位不进位，所以异或又称不进位加法。
2. 如二进制减法10 - 01 = 01，而异或运算是10 ^ 01 = 11，也可以看做个位0向高位借了一个1当2来用，但高位不减1，所以异或也可以称为不退位减法。

利用异或的这个特性，只要再解决一下进位和退位问题，就可以实现加减法了，如下是java代码实现：

public static int intPlus(int a, int b){
    while (b != 0){
        // 加法(未考虑进位)
        int sum = a ^ b;
        // 进位值，二进制中1 + 1的场景才会进位，a & b只有两个都为1，结果才是1，左移一位，就是进位值了
        int addition = (a & b) << 1;

        // 赋值，下次循环将进位加到a里面来，直到进位等于0
        a = sum;
        b = addition;
    }
    return a;
}
public static int intSubtract(int a, int b){
    while (b != 0){
        // 减法(未考虑退位)
        int sum = a ^ b;
        // 退位值，二进制中0 - 1的场景才会退位，~a & b只有a=0,b=1，结果才是1，左移一位，就是退位值了
        int abdication = (~a & b) << 1;

        // 赋值，下次循环将退位再从a中减掉，直到退位等于0
        a = sum;
        b = abdication;
    }
    return a;
}

这也是为什么CPU里面都是做位运算的逻辑门电路，却能实现数值计算😱

加解密

使用XOR可以实现简单的加解密，假如明文为plain，密钥为key，密文为secret，则：

// 加密
secret = plain ^ key
// 解密
plain = secret ^ key

为什么一定能解密呢，如下：

secret ^ key 
    = (plain ^ key) ^ key     // 代入加密表达式
    = plain ^ (key ^ key)     // 代入结合律
    = plain ^ 0               // 任何值与自身异或等于0
    = plain                   // 任何值与0异或等于自身

java实现如下：

public static byte[] xorEncrypt(byte[] plain, byte[] key){
    byte[] secret = new byte[plain.length];
    for(int i = 0; i < plain.length; i++){
        secret[i] = (byte) (plain[i] ^ key[i % key.length]);
    }
    return secret;
}

public static byte[] xorDecrypt(byte[] secret, byte[] key){
    return xorEncrypt(secret, key);
}

public static void main(String[] args) {
    byte[] plain = "hello xor".getBytes(StandardCharsets.UTF_8);
    byte[] key = "1234".getBytes(StandardCharsets.UTF_8);
    byte[] secret = xorEncrypt(plain, key);
    byte[] plain2 = xorDecrypt(secret, key);
    // 输出 plain:aGVsbG8geG9y,secret:WVdfWF4SS1tD, plain2:aGVsbG8geG9y
    System.out.printf("plain:%s,secret:%s, plain2:%s", Base64.encode(plain), Base64.encode(secret),
            Base64.encode(plain2));
}

密钥交换

密钥交换就是通信双方需要将加密密钥发送给对方，但不让中间的信道监听者知道密钥是什么，而利用XOR就可以实现一种最简单的密钥交换方案，如下：

1. 客户端生成一个随机密钥p，然后再使用自己的密钥k1对其XOR加密，将加密后的s1发送给服务端，即s1 = p ^ k1。
2. 服务端再使用自己的密钥k2对s1做XOR加密，将加密后的s2回复给客户端，即s2 = s1 ^ k2。
3. 客户端再使用自己的密钥k1对s2做XOR解密，将解密后的s3回复给服务端，即s3 = s2 ^ k1。
4. 服务端再使用自己的密钥k2对s3做XOR解密，即s4 = s3 ^ k2，而按XOR的性质，s4会等于p，即客户端顺利将p发送给了服务端，且中间通信数据都是加密的。
   
   整个过程可以看做先是双方都在密文中做了一次加密，而后双方又逐步解开。

证明其正确性也很简单，只需要将式子代入一下即可，如下：

s4 = s3 ^ k2
   = (s2 ^ k1) ^ k2
   = ((s1 ^ k2) ^ k1) ^ k2
   = (((p ^ k1) ^ k2) ^ k1) ^ k2
   = p ^ k1 ^ k2 ^ k1 ^ k2         // 应用结合律
   = p ^ (k1 ^ k2) ^ (k1 ^ k2)     // 再应用结合律，把k1 ^ k2看成整体，就是加密之后再解密了
   = p

   //也可以这样证明
   = p ^ k1 ^ k2 ^ k1 ^ k2         
   = p ^ (k1 ^ k1) ^ (k2 ^ k2)     // 应用交换律
   = p ^ 0 ^ 0                     // 应用自身与自身异或为0
   = p                             // 应用任何值与0异或为其自身

数据备份

使用XOR也可以很容易实现多个数据的互备，如下：
假如有数据a、b、c，则z = a ^ b ^ c，然后把数据z备份下来。

• 当a丢失时，可使用z ^ b ^ c来恢复。
• 当b丢失时，可使用z ^ a ^ c来恢复。
• 当c丢失时，可使用z ^ a ^ b来恢复。

这真是太神奇了，备份了一份数据z后，丢失了任何一份数据，都可以通过数据z与其它数据一起恢复回来😎，而磁盘阵列技术raid5的数据备份原理，就是用的这个特性。

实现异或

由于在布尔代数中，其实只需要与、或、非运算就可以实现所有其它运算，所以异或其实也是可以通过与、或、非实现的，最直观的实现方式如下：

a ^ b = (~a & b) | (a & ~b)  

ok，异或的使用场景就介绍到这了，还有没有其它神奇的运用场景呢？如果有，可留言告知下😀

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