图论 -- 拓扑排序

拓扑排序是什么？

我们把从做番茄炒蛋和紫菜蛋花汤当作一个项目工程

在做整个工程的时候，我们每次只能做一件事情，并且不能再炒鸡蛋之后再打鸡蛋，不能在混合翻炒之后再下番茄

也就是，我们可以按这样的方式进行整个工程

准备食材，切番茄，打鸡蛋，炒鸡蛋，下番茄，混合翻炒，放调料，紫菜蛋花汤，摆盘

或者这样

准备食材，紫菜蛋花汤，切番茄，下番茄，打鸡蛋，炒鸡蛋，混合翻炒，放调料，摆盘

但不能这样

准备食材，切番茄，下番茄，混合翻炒，打鸡蛋，下鸡蛋，放调料，紫菜蛋花汤，摆盘

因为都还没有鸡蛋，哪来的混合翻炒

以上的这种在每个活动开始时，保证它的所有前驱活动都已完成的排序就叫拓扑排序

例如，混合翻炒这个活动的所有前驱活动就是

准备食材，切番茄，下番茄，打鸡蛋，炒鸡蛋

但紫菜蛋花汤并不属于混合翻炒的前驱活动，而是属于摆盘的前驱活动

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在图中的应用

拓扑排序更准确的定义是这样的：

设G=(V,E)是一个具有n个顶点的有向图，V中的顶点序列v1，v2，……，vn满足若从vi到vj有一条路径，则在顶点序列中顶点vi必在vj之前。则我们称这样的顶点序列为一个拓扑序列。

例如这条路径

准备食材，切番茄，打鸡蛋，炒鸡蛋，下番茄，混合翻炒，放调料，紫菜蛋花汤，摆盘

切番茄，打鸡蛋，炒鸡蛋，下番茄这四个活动到混合翻炒都有路径，且这四个活动都在混合翻炒之前（且该序列的任何两个活动都满足该条件）

而切番茄到炒鸡蛋无路径，因此没有必要分前后，不影响整个工程的完成

但例如以下路径

准备食材，切番茄，下番茄，混合翻炒，打鸡蛋，下鸡蛋，放调料，紫菜蛋花汤，摆盘

打鸡蛋到混合翻炒之间有路径，但却在它后面，这便不是拓扑序列了

其实拓扑排序说到底很简单易懂，就是让我们做的事情有实际的可行性就行了

在混合翻炒之后再打鸡蛋肯定是不合常理的，做菜的时候我们能很轻松地给出拓扑序列

但当工程变得更加庞大，活动数量剧增的时候我们就很难一下子地看出工程的拓扑序列了

那么，接下来，我们应该怎么用代码来表示做菜的过程和拓扑排序算法呢？

首先，整个做菜的过程我们可以抽象为一个AOV网

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AOV网（Activity On Vertex Network)

即活动在顶点的网（活动即代表我们想做的事情）

而箭头（弧）代表什么呢？

从图中我们可以看出，箭头指向的内容就是下一件要做的事，也就是代表着优先级

在一个表示工程的有向图中，用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系，这样的有向图为顶点表示活动的网，我们称为AOV网。

从以上我们可以看出，AOV网模型加上拓扑排序算法能够让我们确定出各个活动进行的顺序

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拓扑排序算法实现（C语言）

首先我们先来实现一下上述模型的代码

要想用代码来实现拓扑排序

请先来看看我们是怎样轻松得出上图的拓扑序列的

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首先，第一个顶点很好确定，因为图中只有一个

那么，我们是如何确定接下来的顶点的呢？

也就是查看接下来的顶点中有哪些是第一个顶点所指向的

若被指向，则可作为接下来的顶点

这种方式会麻烦一点

我们还有更简单的方法

比如，在完成第一个活动之后，便把第一个活动删除，这个活动删除之后，与它相关的弧也就没有意义了，所以我们把相关的弧也进行删除

删除之后，我们得到了这样的图

那我们就可以重复前面的工作了，继续选择起点，然后删除

因此，我们的工作非常简单：

1. 找起点
2. 输出之后删除顶点及相关弧
3. 重复上面两个步骤

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当我们把自己的想法理清楚，具体化之后，用代码实现就显得轻松多了

那么起点是什么呢？

也就是没有其他顶点指向的顶点，即入度为0