882. 细分图中的可到达节点 : 常规最短路运用题

题目描述

这是 LeetCode 上的 882. 细分图中的可到达节点 ，难度为 困难。

Tag : 「最短路」、「单源最短路」、「Dijkstra」、「SPFA」

给你一个无向图（原始图），图中有 n 个节点，编号从 0 到 n - 1 。你决定将图中的每条边 细分 为一条节点链，每条边之间的新节点数各不相同。

图用由边组成的二维数组 edges 表示，其中 $edges[i] = [u_{i}, v_{i}, cnt_{i}]$ 表示原始图中节点 $u_{i}$ 和 $v_{i}$ 之间存在一条边，$cnt_{i}$ 是将边 细分 后的新节点总数。注意，$cnt_{i} = 0$ 表示边不可细分。

要 细分边 $[u_{i}, v_{i}]$ ，需要将其替换为 $(cnt_{i} + 1)$ 条新边，和 $cnt_{i}$ 个新节点。新节点为 $x_1, x_2, ..., x_{cnt_{i}}$ ，新边为 $[u_{i}, x_{1}], [x_{1}, x_{2}], [x_{2}, x_{3}], ..., [x_{cnt_{i}}+1, x_{cnt_{i}}], [x_{cnt_{i}}, v_{i}]$ 。

现在得到一个 新的细分图 ，请你计算从节点 0 出发，可以到达多少个节点？如果节点间距离是 maxMoves 或更少，则视为 可以到达 。

给你原始图和 maxMoves ，返回 新的细分图中从节点 0 出发 可到达的节点数 。

示例 1：

输入：edges = [[0,1,10],[0,2,1],[1,2,2]], maxMoves = 6, n = 3

输出：13

解释：边的细分情况如上图所示。
可以到达的节点已经用黄色标注出来。

示例 2：

输入：edges = [[0,1,4],[1,2,6],[0,2,8],[1,3,1]], maxMoves = 10, n = 4

输出：23

示例 3：

输入：edges = [[1,2,4],[1,4,5],[1,3,1],[2,3,4],[3,4,5]], maxMoves = 17, n = 5

输出：1

解释：节点 0 与图的其余部分没有连通，所以只有节点 0 可以到达。

提示：

• $0 <= edges.length <= \min(n * (n - 1) / 2, 10^4)$
• $edges[i].length = 3$
• $0 <= u_{i} < v_{i} < n$
• 图中 不存在平行边
• $0 <= cnt_{i} <= 10^4$
• $0 <= maxMoves <= 10^9$
• $1 <= n <= 3000$

朴素 Dijkstra

为了方便，我们将原始图边的数量记为 m，因此对于原始图而言，点的数量 $3000$，边的数量为 $10000$。

题目要我们求新图上，从 0 点出发可到达的点的数量，我们将原图上存在的点称为「原点」，细分边上增加的点称为「细分点」，两类点中可达点的数量即是答案。

在分别考虑如何统计两类点之前，我们需要重新定义一下边的权重：若原点 u 和原点 v 的边上存在 c 个细分点，我们将原点 u 和原点 v 之间的边看作是一条权重为 c + 1 的无向边（结合题意，c 个点存在 c + 1 个分段/距离）。

重新定义边的权重后，因为该图是「稠密图」，我们可以使用「朴素 Dijkstra」来求解最短路，得到 $dist$ 数组，其中 $dist[x] = t$ 含义为从原点 0 点出发，到达原点 x 的最短距离为 t。

不了解最短路的同学可以看前置 🧀 : 涵盖所有的「存图方式」与「最短路算法（详尽注释）」

随后考虑如何统计答案（可达点的数量），根据统计点的类型分情况讨论：

1. 对于原点：若有 $dist[x] < max$ 的话，说明原点 x 可达，累加到答案中；
2. 对于细分点：由于所有的细分点都在原图边上，因此我们可以统计所有原图边上有多少细分点可达。
   对于任意一条边 $e(u, v)$ 而言，该边上可达点数量包含「经过原点 u 可达」以及「经过原点 v 可达」的交集，其中原点 0 到达原点 u 以及原点 v 的距离，我们是已知的。因此经过原点 u 可达的数量为 $\max(0, max - dist[u])$，经过原点 v 可达的数量为 $\max(0, max - dist[v])$，两者之和与该边上细分点的总数取 min 即是这条边可达点的数量。

代码：

class Solution {
    static int N = 3010, INF = 0x3f3f3f3f;
    static int[][] g = new int[N][N];
    static int[] dist = new int[N];
    static boolean[] vis = new boolean[N];
    public int reachableNodes(int[][] edges, int max, int n) {
        // 建图
        for (int i = 0; i < n; i++) Arrays.fill(g[i], INF);
        for (int[] info : edges) {
            int a = info[0], b = info[1], c = info[2] + 1;
            g[a][b] = g[b][a] = c;
        }
        // 朴素 Dijkstra
        Arrays.fill(dist, INF);
        Arrays.fill(vis, false);
        dist[0] = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int t = -1;
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (!vis[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t])) t = j;
            }
            vis[t] = true;
            for (int j = 0; j < n; j++) dist[j] = Math.min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
        }
        // 统计答案
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (dist[i] <= max) ans++;
        }
        for (int[] info : edges) {
            int a = info[0], b = info[1], c = info[2];
            int c1 = Math.max(0, max - dist[a]), c2 = Math.max(0, max - dist[b]);
            ans += Math.min(c, c1 + c2);
        }
        return ans;
    }
}

• 时间复杂度：建图复杂度为 $O(m)$；使用朴素 Dijkstra 求最短路复杂度为 $O(n^2)$；统计答案复杂度为 $O(n + m)$。整体复杂度为 $O(m + n^2)$
• 空间复杂度：$O(n^2)$

SPFA

从数据范围来看，无论是朴素 Dijkstra 还是堆优化版的 Dijkstra 都可以过，复杂度分别为 $O(n^2)$ 和 $O(m\log{n})$。

那 Bellman Ford 类的单源最短路就无法通过了吗？

理论上，无论是 Bellman Ford 还是 SPFA 复杂度均为 $O(n \times m)$，均无法通过本题。但实际上 SPFA 由于使用队列对松弛顺序进行了调整，因此在应对「非菊花图」时均表现良好，复杂度可视为 $O(k \times m)$，近似 $O(m)$。

代码：

class Solution {
    static int N = 3010, M = 20010, INF = 0x3f3f3f3f, idx = 0;
    static int[] he = new int[N], e = new int[M], ne = new int[M], w = new int[M];
    static int[] dist = new int[N];
    static boolean[] vis = new boolean[N];
    void add(int a, int b, int c) {
        e[idx] = b;
        ne[idx] = he[a];
        w[idx] = c;
        he[a] = idx++;
    }
    public int reachableNodes(int[][] edges, int max, int n) {
        // 建图
        Arrays.fill(he, -1);
        idx = 0;
        for (int[] info : edges) {
            int a = info[0], b = info[1], c = info[2] + 1;
            add(a, b, c); add(b, a, c);
        }
        // SPFA
        Arrays.fill(dist, INF);
        Arrays.fill(vis, false);
        Deque<Integer> d = new ArrayDeque<>();
        d.addLast(0);
        dist[0] = 0;
        vis[0] = true;
        while (!d.isEmpty()) {
            int t = d.pollFirst();
            vis[t] = false;
            for (int i = he[t]; i != -1; i = ne[i]) {
                int j = e[i];
                if (dist[j] > dist[t] + w[i]) {
                    dist[j] = dist[t] + w[i];
                    if (vis[j]) continue;
                    d.addLast(j);
                    vis[j] = true;
                }
            }
        }
        // 统计答案
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (dist[i] <= max) ans++;
        }
        for (int[] info : edges) {
            int a = info[0], b = info[1], c = info[2];
            int c1 = Math.max(0, max - dist[a]), c2 = Math.max(0, max - dist[b]);
            ans += Math.min(c, c1 + c2);
        }
        return ans;
    }
}

• 时间复杂度：建图复杂度为 $O(m)$；使用 SPFA 求最短路复杂度为 $O(n \times m)$；统计答案复杂度为 $O(n + m)$。整体复杂度为 $O(n \times m)$
• 空间复杂度：$O(n + m)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.882 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSou... 。

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