JSXGraph几何绘图证明解答【五点共圆】问题

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冒泡的马树
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    五点共圆

    日常刷刷微信订阅号文章，刷到公众号“机器学习研究组”的这篇文章，《江泽民「数学往事」：这道五点共圆题，差点难倒丘成桐》，里面提到了一道几何证明题，饶有兴致，便凑趣用自己熟悉的JSXGraph来进行下计算机几何证明。

    image.png

    image.png

    计算机几何证明思路：

    基于JSXGraph引擎强大的几何证明推演能力，我的证明思路如下，

    第一步，在画板上任意位置，声明五角星的五个顶点，A、B、C、D、E；

    第二步，连接AD、AC、EB、EC、DB，得到五条直线；

    第三步，分别命名五条直线间的交点为F、G、H、I、J；

    第四步，基于点A、F、J作三角形AFJ，点J、E、I作三角形JEI，点I、D、H作三角形IDH，点H、C、G作三角形HCG，点G、B、F作三角形GBF；

    第五步，分别作三角形AFJ的外接圆AFJ，三角形JEI的外接圆JEI，三角形IDH的外接圆IDH，三角形HCG的外接圆HCG，三角形GBF的外接圆GBF；

    第六步，声明外接圆AFJ和外接圆JEI的非J交点为K，外接圆JEI和外接圆IDH的非I交点为O，外接圆IDH和外接圆HCG的非H交点为N，外接圆HCG和外接圆GBF的非G交点为M，外接圆GBF和外接圆AFJ的非F交点为L；

    第七步，选择K、O、N、M、L中的任意三点作圆，若剩余两点也恰好位于所作圆的圆线上，则此五点共圆，得证。

    JSXGraph代码求证演示：

    最开始的话，得复制粘贴用下这个JSXGraph官方提供的模板HTML文件，如下，我们会在最下面的<script>标签内编写JSXGraph代码，进行计算机几何证明。

    <!doctype html>
<html lang="en">
<head>
<meta charset="UTF-8">
<title>JSXGraph template</title>
<meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="Content-Type">
<link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/jsxgraph@1.4.6/distrib/jsxgraph.css"
rel="stylesheet" type="text/css" />
<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/jsxgraph@1.4.6/distrib/jsxgraphcore.
js" type="text/javascript" charset="UTF-8"></script>
<!-- The next line is optional: MathJax -->
<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-chtml.js" id="
MathJax-script" async></script>
</head>
<body>
<div id="jxgbox" class="jxgbox" style="width:500px; height:500px;"></div>
<script>
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('jxgbox', {boundingbox: [-5, 5, 5, -5]});
</script>
</body>
</html>

    渲染如下：
    image.png

    第一步，在画板上任意位置，声明五角星的五个顶点，A、B、C、D、E；

    将上面的画布坐标系声明大一些，改为[-25, 25, 25, -25]，中心为坐标原点。

    var board = JXG.JSXGraph.initBoard('jxgbox', {boundingbox: [-25, 25, 25, -25]});

    然后，声明五个顶点，取A(0, 19)、B(20，3)、C(14，-14)、D(-8，-20)、E(-20，6)。

    var A = board.create('point', [0, 19]);
var B = board.create('point', [20, 3]);
var C = board.create('point', [14, -14]);
var D = board.create('point', [-8, -20]);
var E = board.create('point', [-20, 6]);

    渲染如下：

    image.png

    第二步，连接AD、AC、EB、EC、DB，得到五条直线；

    var AD = board.create('line', [A, D]);
var AC = board.create('line', [A, C]);
var EB = board.create('line', [E, B]);
var EC = board.create('line', [E, C]);
var DB = board.create('line', [D, B]);

    渲染如下：

    image.png

    第三步，分别命名五条直线间的交点为F、G、H、I、J；

    var F = board.create('intersection', [AC, EB]);
var G = board.create('intersection', [AC, DB]);
var H = board.create('intersection', [EC, DB]);
var I = board.create('intersection', [AD, EC]);
var J = board.create('intersection', [AD, EB]);

    image.png

    第四步，基于点A、F、J作三角形AFJ，点J、E、I作三角形JEI，点I、D、H作三角形IDH，点H、C、G作三角形HCG，点G、B、F作三角形GBF；

    var AFJ = board.create('polygon', [A, F, J]);
var JEI = board.create('polygon', [J, E, I]);
var IDH = board.create('polygon', [I, D, H]);
var HCG = board.create('polygon', [H, C, G]);
var GBF = board.create('polygon', [G, B, F]);

    渲染如下：

    image.png

    第五步，分别作三角形AFJ的外接圆AFJ，三角形JEI的外接圆JEI，三角形IDH的外接圆IDH，三角形HCG的外接圆HCG，三角形GBF的外接圆GBF；

    var cirAFJ = board.create('circumcircle', [A, F, J]);
var cirJEI = board.create('circumcircle', [J, E, I]);
var cirIDH = board.create('circumcircle', [I, D, H]);
var cirHCG = board.create('circumcircle', [H, C, G]);
var cirGBF = board.create('circumcircle', [G, B, F]);

    渲染如下：

    image.png

    第六步，声明外接圆AFJ和外接圆JEI的非J交点为K，外接圆JEI和外接圆IDH的非I交点为O，外接圆IDH和外接圆HCG的非H交点为N，外接圆HCG和外接圆GBF的非G交点为M，外接圆GBF和外接圆AFJ的非F交点为L；

    var K = board.create('intersection',[cirAFJ,cirJEI,0], {name: 'K'});
var O = board.create('intersection',[cirJEI,cirIDH,0], {name: 'O'});
var N = board.create('intersection',[cirIDH,cirHCG,0], {name: 'N'});
var M = board.create('intersection',[cirHCG,cirGBF,0], {name: 'M'});
var L = board.create('intersection',[cirGBF,cirAFJ,0], {name: 'L'});

    渲染如下：

    image.png

    第七步，选择K、O、N、M、L中的任意三点作圆，若剩余两点也恰好位于所作圆的圆线上，则此五点共圆，得证。

    这里，选择点K、O、L。

    var cirKOL = board.create('circumcircle', [K, O, L]);

    对应渲染：

    image.png

    可以看到，剩余两点N、M确实是在KOL这个圆的圆线上，诚不我欺！

    最终的完整代码

    <!doctype html>
<html lang="en">
<head>
<meta charset="UTF-8">
<title>JSXGraph template</title>
<meta content="text/html; charset=utf-8" http-equiv="Content-Type">
<link href="https://cdn.jsdelivr.net/npm/jsxgraph@1.4.6/distrib/jsxgraph.css"
rel="stylesheet" type="text/css" />
<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/jsxgraph@1.4.6/distrib/jsxgraphcore.
js" type="text/javascript" charset="UTF-8"></script>
<!-- The next line is optional: MathJax -->
<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-chtml.js" id="
MathJax-script" async></script>
</head>
<body>
<div id="jxgbox" class="jxgbox" style="width:500px; height:500px;"></div>
<script>
var board = JXG.JSXGraph.initBoard('jxgbox', {boundingbox: [-25, 25, 25, -25]});

var A = board.create('point', [0, 19]);
var B = board.create('point', [20, 3]);
var C = board.create('point', [14, -14]);
var D = board.create('point', [-8, -20]);
var E = board.create('point', [-20, 6]);

var AD = board.create('line', [A, D]);
var AC = board.create('line', [A, C]);
var EB = board.create('line', [E, B]);
var EC = board.create('line', [E, C]);
var DB = board.create('line', [D, B]);

var F = board.create('intersection', [AC, EB]);
var G = board.create('intersection', [AC, DB]);
var H = board.create('intersection', [EC, DB]);
var I = board.create('intersection', [AD, EC]);
var J = board.create('intersection', [AD, EB]);

var AFJ = board.create('polygon', [A, F, J]);
var JEI = board.create('polygon', [J, E, I]);
var IDH = board.create('polygon', [I, D, H]);
var HCG = board.create('polygon', [H, C, G]);
var GBF = board.create('polygon', [G, B, F]);

var cirAFJ = board.create('circumcircle', [A, F, J]);
var cirJEI = board.create('circumcircle', [J, E, I]);
var cirIDH = board.create('circumcircle', [I, D, H]);
var cirHCG = board.create('circumcircle', [H, C, G]);
var cirGBF = board.create('circumcircle', [G, B, F]);

var K = board.create('intersection',[cirAFJ,cirJEI,0], {name: 'K'});
var O = board.create('intersection',[cirJEI,cirIDH,0], {name: 'O'});
var N = board.create('intersection',[cirIDH,cirHCG,0], {name: 'N'});
var M = board.create('intersection',[cirHCG,cirGBF,0], {name: 'M'});
var L = board.create('intersection',[cirGBF,cirAFJ,0], {name: 'L'});

var cirKOL = board.create('circumcircle', [K, O, L]);
</script>
</body>
</html>

    记事本复制粘贴保存为HTML文件即可运行查看效果，还可以拖拉拽~~

    javascript算法数学几何教育
    冒泡的马树
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    曾痴迷于赛博朋克世界的代码玩家一枚，

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