【隐私计算笔谈】MPC系列专题（十二）：比特比较

比特或

上次的科普介绍了共享随机数和比特分享，通过共享随机数来实现比特分享，再通过比特分享来实现本次要介绍的比特串比较。

在介绍比特比较之前先简单介绍一下比特的或。比特异或的实现方法较为简单，利用之前介绍过的𝐹2下Shamir共享机制的加法就能实现。而比特或则无法直接通过Shamir共享机制的加法或者乘法实现。

注意之前介绍过，在算数电路上实现乘法和加法即可实现任意函数，而在布尔电路上实现异或和与即可实现任意函数。安全多方计算就是为了在保护隐私信息下共同计算目标函数，如果把比特与通过使用加法和乘法的函数表示，那么即可通过加法和乘法实现与门的功能。 

思考一下与的特点，当多个比特相或时，其中只要有一个比特的值为1，或的结果就是1，因此可以统计出现1的个数，只要超过0次，最后的值就为1。可以设计出这样一个函数：若函数有个𝑙输入，分别为𝑥1,…,𝑥𝑙，则让\( g=1+\sum{_{i=1}^{l}} x_{i} \)，让实现与的函数为𝑓(𝑥1,…,𝑥𝑙)： 

将\( g=1+\sum{_{i=1}^{l}} x_{i} \)，是因为当\( \sum{_{i=1}^{l}} x_{i}=0 \)时会泄露信息。回忆一下，在Shamir秘密分享机制中，当秘密分享函数的输入为0时，得到的就是秘密，因此需要避免输入为0。让\( g=1+\sum{_{i=1}^{l}} x_{i} \)可以使得函数𝑓(𝑔)的定义域从[0,𝑙]变为[1,𝑙+1]，从而避免出现输入𝑔为0的情况。𝑓(𝑔)的具体实现则可通过有𝑛个未知系数的方程，𝑛个方程解𝑛个未知数即可，即𝑓(1)=0,𝑓(2)=⋯=𝑓(𝑙+1)=1。把\( g=1+\sum{_{i=1}^{l}} x_{i} \)和𝑓(𝑔)映射到Shamir秘密共享机制上，加法和乘法对应Shamir中的加和乘，即可实现在共享的比特上的或计算。 

比特比较（Bitwise Compare）

具体要介绍的比较为小于，即如果比特串𝑎<𝑏，则得到的结果为1，如果𝑎>𝑏，则得到的结果为0。假设有两个𝑙比特长的比特串𝑎和𝑏，分别为\( 𝑎=𝑎_0𝑎_1⋯𝑎_{𝑙-1}和𝑏=𝑏_0𝑏_1⋯𝑏_{𝑙-1} \)，首先将比特串𝑎和𝑏按比特进行异或，得到比特串\( 𝑐=𝑐_0⋯𝑐_{𝑙-1} \)，其中\( 𝑐_𝑖=𝑎_𝑖\oplus𝑏_𝑖,0≤𝑖≤𝑙−1 \)。再计算比特串\( 𝑑=𝑑_0⋯𝑑_{𝑙-1} \)，其中\( d_{j}=\vee_{i=0}^{j} c_{i},0≤𝑗≤𝑙−1 \)，即比特串𝑑的第𝑗位比特是比特串𝑐从高位起前𝑗位比特的或。

比如，如果比特串𝑎=100 101 ，比特串𝑏=101 011，比特串𝑐为比特串𝑎和𝑏按位异或的结果，比特串𝑐=001 110，比特串\( d=d_0...d_{l-1} , d_0=c_0 , d_1=c0 \vee c1 , d2=c_0 \vee c_1 \vee c_2 , d_{l-1}=c_0 \vee c_1 \vee... \vee c_{l-1} \)，可以得到比特串𝑑=001 111。比特串𝑑的第𝑗位比特是比特串𝑐从高位起前𝑗位比特的或，可以观察到当比特串𝑐中某个比特是整个比特串中第一位为1的时候，比特串𝑑从那位起之后都为1。如以上举的例子中，𝑐3为比特串𝑐中第一个出现1的比特，则比特串𝑑的𝑑3以及𝑑3之后都为1，之前都为0。

再接着让\( 𝑒_𝑗=𝑑_{𝑗-1}−𝑑_𝑗 \), 1≤𝑗≤𝑙−1, 𝑒0=𝑑0，因此可以得到比特串𝑒，在上面这个例子中，得到的比特串𝑒=001 000，即比特串𝑒会保留比特串𝑑中第一位出现1的那位，其余位均为0。

最后，计算\( \sum{_{i=0}^{l}} d_{i}.b_{i} \)即为最后的结果，在上面这个例子中结果为1，和比特串𝑎<𝑏相符合。

它所使用的原理是，如果比特串𝑏>𝑎，那么比特串𝑏中第一位1出现的一定比比特串𝑎中的第一位1要早，否则比特串𝑏就小于等于比特串𝑎。

将比特串𝑎和𝑏按位进行异或得到𝑐后，比特串𝑐中第一位1出现的位置就是比特串𝑎和𝑏中最早的第一位1出现的位置。那么如果比特串𝑐中第一位1出现的位置和𝑏中最早的第一位1出现的位置相同，就说明𝑏>𝑎。而接下去做的步骤就是为了证明比特串𝑐中第一位1出现的位置和𝑏中最早的第一位1出现的位置是否相同。在上面的例子中，用橘色表示1，蓝色表示0，则𝑎、𝑏、𝑐为： 

比特串𝑑是从𝑐第一位1出现起，之后都为1。比特串𝑒是除了𝑐第一位1出现的位置为1，其余位都为0。即成功将𝑐中第一位出现1的位置提取了出来。在上面的例子中，𝑑和𝑒用图形表示为：

现在比特串𝑒中1的位置即为𝑐中第一位出现1的位置，将𝑐和𝑏进行按位与，如果𝑏第一位出现1的位置和𝑒中1的位置相同，那么该位按位与的结果就是1，其余位均为0，所有位相与结果之和就是1。反之，𝑏第一位出现1的位置和𝑒中1的位置不同，则为0。

将上述比较方式中的𝑎, 𝑏的各个比特都采用比特分享的方式进行分享，后续的「异或」以及「或」操作都采用我们之前介绍过的对子秘密的「比特异或」和「比特或」操作，即可实现对𝑎,𝑏的多方比较，且不向任何参与者泄露𝑎,𝑏的具体值。