「数据结构与算法」动态规划学习笔记：背包问题

「数据结构与算法」动态规划学习笔记：背包问题

定义

给定一个背包容量 target ，再给定一个数组 nums(物品) ，能否按一定方式选取 nums 中的元素得到 target

注意：

1. 背包容量target和物品nums的类型可能是数，也可能是字符串
2. target可能题目已经给出（显式），也可能是需要我们从题目的信息中挖掘出来（非显式）（常见的非显式target比如sum/2等）
3. 选取方式有常见的一下几种：每个元素选一次/每个元素选多次/选元素进行排列组合

分类：

常见的背包类型主要有以下几种：

1. 0/1背包问题：每个元素最多选取一次
2. 完全背包问题：每个元素可以重复选择
3. 组合背包问题：背包中的物品要考虑顺序
4. 分组背包问题：不止一个背包，需要遍历每个背包

而每个背包问题要求的也是不同的，按照所求问题分类，又可以分为以下几种：

1. 最值问题：要求最大值/最小值
2. 存在问题：是否存在…………，满足…………
3. 组合问题：求所有满足……的排列组合

模板

二维

// 0-1背包问题母代码(二维)
private int bags() {
    // 各个物品的重量
    int[] weight = new int[] {1, 3, 4};
    // 对应的价值
    int[] value = new int[] {15, 20, 30};
    // 背包最大能放下多重的物品
    int bagSize = 4;
    // 二维数组：状态定义:dp[i][j]表示从0-i个物品中选择不超过j重量的物品的最大价值
    int[][] dp = new int[weight.length][bagSize + 1];
    // 初始化:第一列都是0，第一行表示只选取0号物品最大价值
    for (int j = bagSize; j >= weight[0]; j--) {
        dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
    }
    for (int i = 1; i < weight.size(); i++) {
        // 遍历物品(第0个物品已经初始化)
        for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {
            // 遍历背包容量
            if (j < weight[i]) {
                // 背包容量已经不足以拿第i个物品了
                // 最大价值就是拿第i-1个物品的最大价值
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            } else {
                // 背包容量足够拿第i个物品，可拿可不拿：
                // 拿了最大价值是前i-1个物品扣除第i个物品的重量的最大价值，加上i个物品的价值
                // 不拿就是前i-1个物品的最大价值
                // 两者进行比较取较大的
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
            }
        }
    }
    return dp[weight.size - 1][bagSize];
}

二维优化至一维

// 0-1背包问题母代码(一维)
private int bags() {
    // 各个物品的重量
    int[] weight = new int[] {1, 3, 4};
    // 对应的价值
    int[] value = new int[] {15, 20, 30};
    // 背包最大能放下多重的物品
    int bagSize = 4;
    // 一维数组：状态定义:dp[i]表示选择不超过i重量的物品的最大价值
    int[] dp = new int[bagSize + 1];
    for (int i = 0; i < weight.size(); i++) {
        // 遍历物品
        for (int j = bagSize; j >= weight[i]; j--) {
            // 遍历背包容量（一定要逆序）
            // 不取或者取第i个
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    return dp[bagSize];
}

分类模板

背包问题大体的解题模板是两层循环，分别遍历物品 nums 和背包容量 target ，然后写转移方程。
根据背包的分类我们确定物品和容量遍历的先后顺序，根据问题的分类我们确定状态转移方程的写法

首先是背包分类的模板：

1. 0/1背包：外循环 nums ，内循环 target ， target 倒序且 target>=nums[i]
2. 完全背包：外循环 nums ，内循环 target ， target 正序且 target>=nums[i]
3. 组合背包：外循环 target ，内循环 nums ， target 正序且 target>=nums[i]
4. 分组背包：这个比较特殊，需要三重循环：外循环背包bags，内部两层循环根据题目的要求转化为1、2、3三种背包类型的模板

然后是问题分类的模板：

1. 最值问题： dp[i] = max/min(dp[i], dp[i-nums]+1) 或 dp[i] = max/min(dp[i], dp[i-num]+nums)
2. 存在问题： dp[i] = dp[i]||dp[i-num]
3. 组合问题： dp[i] += dp[i-num]