机器学习-逻辑回归

前言

逻辑回归虽然叫回归，实际上是一个二分类模型，要知道回归模型是连续的，而分类模型是离散的，逻辑回归简单点理解就是在线性回归的基础上增加了一个 sigmoid 函数

逻辑回归 = 线性回归 + sigmoid 函数

回顾线性回归

• 表达式：\( y = wx + b \)
• 

sigmoid 函数

• 什么是sigmoid 函数
• 
  sigmoid 是以0.5为分界线的激活函数，主要用于将结果输入sigmoid 函数中sigmoid函数会输出一个[0,1] 区间的概率值，0.5以上为一类，0.5以下为一类，这样完成二分类任务

• 公式：

  $$ sig(x) = \frac{1}{1+e^{-x}} $$

  逻辑回归的公式

$$ z = wx+b $$

$$ y =\frac{1}{1+e^{-z}} $$

$$ 所以可以写成 y =\frac{1}{1+e^{-wx+b}} $$

逻辑回归的损失

• \( J = -[ylna+(1-y)ln(1-a)] \)
• 逻辑回归损失函数体现在“预测值” 与 “实际值” 相似程度上
• 损失值越小，模型会越好，但是过于小也要考虑过拟合的原因

梯度下降与参数更新

梯度下降：\( \Delta\theta_j=\frac{1}{m}X^T(h-y) \)

deltatheta = (1.0 / m) * X.T.dot(h - y)
更新参数：\( \theta_j = \theta_j - \alpha\Delta\theta_j \)
theta = theta - alpha * deltatheta

代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

data = np.loadtxt('ex2data1.txt',delimiter=',')

x =  data[:,:-1]
y = data[:,-1]

x -= np.mean(x,axis=0)
x /= np.std(x,axis=0)

X =  np.c_[np.ones(len(x)),x]

def mov(theta):
    z =  np.dot(X,theta)
    h = 1/(1+np.exp(-z))
    return h

def cos(h):
    j = -np.mean(y*np.log(h)+(1-y)*np.log(1-h))
    return j

def tidu(sus=10000,aphe=0.1):
    m,n = X.shape
    theta = np.zeros(n)
    j = np.zeros(sus)
    for i in range(sus):
        h = mov(theta)
        j[i] = cos(h)
        te = (1/m)*X.T.dot(h-y)
        theta -= te * aphe
    return h,j,theta

if __name__ == '__main__':
    h,j,theta = tidu()
    print(j)
    plt.plot(j)
    plt.show()