（数据库系统概论|王珊）第九章关系查询处理和关系优化-第三节：查询优化之代数优化

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注意：

• 关系代数有关符号，大家可能又不熟悉了，点击跳转：（数据库系统概论|王珊）第二章关系数据库-第四节：关系代数

在（数据库系统概论|王珊）第九章关系查询处理和关系优化-第一节：查询处理中讲到过：SQL语句经过查询分析，查询检查后变换为查询树，它是关系代数表达式的内部表示。本节介绍查询优化之代数优化，它是基于关系代数等价变换规则的优化方法

• 两个关系表达式$R_{1}$和$R_{2}$是等价的，可以记为$R_{1} \equiv R_{2}$

一：关系代数表达式等价变换规则

• 为了能方便阅读，就没用截图。手都麻了🤮（动动手点个赞吧🥳）
  

（1）连接、笛卡尔积、并、交的交换律

笛卡尔积

$$R×S \equiv S×R$$

并
$$R \cup S \equiv S \cup R$$

交

$$R \cap S \equiv S \cap R$$

连接

$$R \underset{F}{\bowtie} S \equiv S \underset{F}{\bowtie} R 、
R\bowtie S \equiv S\bowtie R$$

（2）连接、笛卡尔积、并、交的结合律

笛卡尔积

$$(R×S) ×T\equiv R×(S×T)$$

并
$$(R \cup S)\cup T \equiv R \cup (S\cup T)$$

交

$$(R \cap S)\cap T \equiv R \cap (S\cap T)$$

连接

$$(R \underset{F}{\bowtie} S) \underset{F}{\bowtie} T \equiv R \underset{F}{\bowtie} (S \underset{F}{\bowtie} T) $$
$$(R\bowtie S) \bowtie T \equiv R\bowtie (S \bowtie T)$$

（3）投影的串接定律

关系的两次投影操作可以合并为一次完成（反过来就是分解）

$$\Pi_{A_{1},A_{2},...,A_{n}}(\Pi_{B_{1},B_{2},...,B_{m}}(E)) \equiv \Pi_{A_{1},A_{2},...,A_{n}}(E)$$

• $E$是关系代数表达式
• $A_{i}(i=1,2,..,n)，B_{j}(j=1,2,..,m)$是属性名。并且$\{ {A_{1},A_{2},...,A_{n}} \}$构成$\{ {B_{1},B_{2},...,B_{m}} \}$的子集

（4）选择的串接定律

选择的两次投影操作可以合并为一次完成（反过来就是分解）

$$\sigma_{F1}(\sigma_{F2}(E)) \equiv \sigma_{F1\land F2}(E)$$

（5）选择与投影的交换律

$$\sigma_{F}(\Pi_{A_{1},A_{2},...,A_{n}}(E)) \equiv \Pi_{A_{1},A_{2},...,A_{n}}(\sigma_{F}(E))$$

• 假设：选择条件$F$只涉及属性${A_{1},A_{2},...,A_{n}}$

$$\Pi_{A_{1},A_{2},...,A_{n}}(\sigma_{F}(E)) \equiv \Pi_{A_{1},A_{2},...,A_{n}}(\sigma_{F}( \Pi_{A_{1},A_{2},...,A_{n},B_{1},B_{2},...,B_{m}}(E)))$$

• 假设：$F$中有不属于${A_{1},A_{2},...,A_{n}}$的属性${B_{1},B_{2},...,B_{m}}$

（6）选择与笛卡尔积的交换律

对于$\sigma_{F}(E_{1}×E_{2})$，有如下等价

①

$$\sigma_{F}(E_{1}×E_{2}) \equiv \sigma_{F}(E_{1})×E_{2}$$

• 假设：选择条件只与其中的一个关系有关，应该对那个关系先做选择，然后再做笛卡尔积。例如上面$F$中涉及的属性都是$E_{1}$中的属性

②

$$\sigma_{F}(E_{1}×E_{2}) \equiv \sigma_{F_{1}}(E_{1})×\sigma_{F_{2}}(E_{2})$$

• 假设：选择条件与两个关系都有关，应该先分别做选择，然后再做笛卡尔积。例如上面$F=F_{1} \land F_{2}$，并且$F_{1}$中只涉及$E_{1}$中的属性，$F_{2}$中只涉及$E_{2}$中的属性

③

$$\sigma_{F}(E_{1}×E_{2}) \equiv \sigma_{F_{2}}(\sigma_{F_{1}}(E_{1})×E_{2})$$

• 假设：如果选择条件与某一部分关系有关，那么也应该先对那个关系做部分选择，然后做笛卡尔积，最后做选择。例如上面$F=F_{1} \land F_{2}$，并且$F_{1}$中只涉及$E_{1}$中的属性，$F_{2}$中涉及$E_{1}$和$E_{2}$中的属性

（7）选择与并的分配律

$$\sigma(E_{1} \cup E_{2}) \equiv \sigma_{F}(E_{1}) \cup \sigma_{F}(E_{2})$$

• 假设：$E=E_{1} \cup E_{2}$，$E_{1}$和$E_{2}$有相同的属性名

（8）选择与差运算的分配律

$$\sigma(E_{1} - E_{2}) \equiv \sigma_{F}(E_{1}) - \sigma_{F}(E_{2})$$

（9）选择对自然连接的分配律

$$\sigma_{F}(E_{1} \bowtie E_{2}) \equiv \sigma_{F}(E_{1}) \bowtie \sigma_{F}(E_{2})$$

• $F$只涉及$E_{1}$和$E_{2}$的公共属性

（10）投影与笛卡尔积的分配律

$$\Pi_{A_{1},A_{2},...,A_{n},B_{1},B_{2},...,B_{m}}(E_{1}×E_{2}) \equiv \Pi_{A_{1},A_{2},...,A_{n}}(E_{1}) × \Pi_{B_{1},B_{2},...,B_{m}}(E_{2})$$

• $A_{1},A_{2},...,A_{n}$是$E_{1}$的属性
• $B_{1},B_{2},...,B_{m}$是$E_{2}$的属性

（11）投影与并的分配律

$$\Pi_{A_{1},A_{2},...,A_{n}}(E_{1} \cup E_{2}) \equiv \Pi_{A_{1},A_{2},...,A_{n}}(E_{1}) \cup \Pi_{A_{1},A_{2},...,A_{n}}(E_{2})$$

二：查询树的启发式优化

• 这是对关系代数表示的查询树进行优化的方法

（1）典型的启发式规则

典型的启发式规则

• 【规则1】选择运算应尽可能先做：这是为了减少中间结果的规模
• 【规则2】投影和选择运算同时进行：这是为了避免重复扫描
• 【规则3】将投影运算与其前后的双目运算结合起来：这是为了避免重复扫描
• 【规则4】把某些选择运算和其前面的笛卡尔积结合起来成为一个连接运算：这是为了减少中间结果的规模
• 【规则5】提取公共子表达式（公因子）：这是为了保存计算结果，避免重复计算

（2）实现算法

• 该算在遵循启发式规则，并应用关系代数表达式等价变换规则来优化关系表达式
• 该算法的输入和输出都是查询树（分别对应待优化和优化的关系表达式）

算法步骤

• 【步骤1】分解选择运算：这是为了便于不同的选择运算沿树的不同分枝向树叶移动，一直移动到与这个选择条件相关的关系处，使选择尽可能先做。$\sigma_{F_{1} \land F_{2} \land ... \land F_{n}} (E)\Rightarrow \sigma_{F_{1}}(\sigma_{F_{2}}(...(\sigma_{F_{n}}(E))...))$
• 【步骤2】通过交换选择运算，将每个选择运算尽可能移动到叶端：利用规则4~9尽可能把选择移动到树的叶端
• 【步骤3】通过交换投影运算，将每个投影运算尽可能移动到叶端：利用规则3、11、10、5尽可能把投影移动到树的叶端
• 【步骤4】合并选择和投影的串接：利用规则3~5把选择和投影的串接合并成单个选择、单个投影或一个选择后面跟一个投影。这是为了使多个选择或投影能同时进行，或在一次扫描中全部完成
• 【步骤5】对内结点分组：每一双目运算（$×$、$\bowtie$、$\cup$、$-$）和它所有的直接祖先的一元运算结点（$\sigma$或$\Pi$）分为一组（如果其后代直到叶子全是单目运算，则也将他们并入该组）；注意当双目运算是笛卡尔积（$×$），而且其后的选择不能与它结合为等值连接时，则不能将选择与这个$×$并为一组

（3）实例演示

• 注意这是一个很重要的考点

【例】如下给出了一个SQL语句

SELECT Student.Sname FROM Student,SC
WHERE Student.Sno=SC.Sno AND SC.Sno='2';

将SQL语句转为关系代数表达式

• 先对Student和SC做笛卡尔积
• 再对中间结果做选择（条件为 Student.Sno=SC.Sno）
• 再对中间结果做选择（条件为SC.Sno='2'）
• 最后投影

结果为

$$\Pi_{Sname}(\sigma_{Student.Sno=sc.Cno \land sc.cno=2}(student × sc))$$

将关系代数表达式转为查询树

查询树优化

①首先选择条件尽可能下移：

• SC.Sno='2'只和SC有关，所以它会沿着分支恰当的分支下移到SC的上方
• Student.Sno=SC.Sno同时涉及Student和SC，所以只能待在那里

②：把选择和其之前的笛卡尔积合并为等值连接，或者干脆变为自然连接

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【例】查询选修了数据库课程的女生学号与姓名，如下是SQL语句

SELECT Student.Sno,Sname FROM Student,SC,Course
WHERE Cname='datebase' AND Ssex='女';

将SQL语句转为关系代数表达式

$$\Pi_{Sno,Sname}(\sigma_{Cname='数据库' \land Ssex='女'}(SC \bowtie Course \bowtie Student))$$

将关系代数表达式转为查询树

查询树优化

①：选择条件复杂，先分解选择条件

②：将选择运算尽可能移动到树的叶端

③：涉及了投影运算，所以也把它尽可能移动到树的叶端

• 投影运算下移时要保留连接属性

④：对内结点进行分组