时间复杂度 - 记录笔记

时间复杂度分析

概念

将算法中执行 基本操作 的次数作为这个算法的时间复杂度的考量，这里所说的“时间”不是指执行一段程序的总时间，而是指基本操作（算法）的执行总次数

思路

明确算法中哪些操作是基本的核心操作与问题规模，计算出规模n的函数f(n)，求T(n)=O(f(n)中增长最快的项/此项的系数)；将能使基本操作执行次数最多的输入作为计算时间复杂度的入参，即：将最坏的情况作为算法时间复杂度的度量

公式

T(n)=O(f(n)中增长最快的项/此项的系数)
例：f(n)=2n³+4n²+100，则T(n)=O(2n³/2)=O(n³)

常用的时间复杂度比较关系

O(1) ≤ O(log₂(n)) ≤ O(n) ≤ O(nlog₂(n)) ≤ O(n²) ≤ O(n³) ≤ ··· ≤ O(nᵏ) ≤ O(2ⁿ)

例题举例

求以下算法的时间复杂度

void fun(int n)
{
    int i = 1, j = 100;
    while (i < n)
    {
        ++j;
        i+=2;
    }
}

一：找出基本操作，确定规模n

1、先找出基本操作。基本操作是以求时间复杂度为目的前提下，基本操作重复执行次数和算法执行时间成正比的操作，多数情况取最深层循环内的语句为算法的基本操作；
  ++j与i+=2，可以作为基本操作

2、确定规模。由while的条件：i<n，可以得知基本操作的执行次数，与入参的参数n有关，所以n就是规模n

二：计算n的函数f(n)

n确定后，while循环的结束与变量i有关

i的初始值为1，每循环一次就自增2，设循环的次数为“m”
则循环结束后，i的最终值的函数公式为：1+2m（初始值+每次循环自增的值*循环次数）

    因此，得到1+2m+K=n(n为算法规模，K为常数，因为i在循环结束后的值大于n，所以要加一个常数)
    解得m=(n-1-K)/2
    
    即f(n)=(n-1-K)/2
    f(n)中增长最快的项为n/2，n与f(n)的关系是线性关系，

    所以得出时间复杂度T(n)=O(n)