21根灵感棒的组合分析

一、预备知识

如上图所示根据灵感棒的长短对灵感棒进行编号。

• 盒中共有3层，每层有3个仓位，一共有9个仓位。
• 如果一个仓位满了，我们称为满仓位；如果一个仓位不满(大约剩余一个圆柱的直径)，我们称为半仓位。
• 我们称1、2和3号位为长棒，剩余为短棒。9个仓位中至少有一根长棒。

Remark： 半仓位+半仓位≠满仓位。半仓位并不是剩余一半仓位的意思，而是大约剩余一个圆柱的直径那个长的距离。

二、主要内容

1、固定搭配

1号位(3根)有2种搭配：1号位+6号位=半仓位、1号位+7号位+8号位=满仓位。

因为7号位只有一根，所以至少会有2根1号位分别和两根6号位组合，因此盒中至少会有两个半仓位。

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2号位(4根)有3种搭配：2号位+4号位=满仓位、2号位+5号位=半仓位、2号位+8号位×2=半仓位、2号位+6号位+8号位=满仓位。

因为4号位只会和2号位搭配，所以至少有2根2号位分别和2根4号位搭配。

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3号位(4根)只有1种搭配：3号位+3号位=满仓位。

4根3号位占据两个满仓位，那么3根1号位、4根2号位再加上占据两个满仓位的3号位刚好为9个仓位(3+4+2)。

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4号位(2根)只有1种搭配：2号位+4号位=满仓位。

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5号位(2根)有1种搭配或用于填充3个半仓位：2号位+5号位=半仓位。

用于填充半仓位时有两种方式：竖着或横着，因为5号位的长度大约等于3个圆柱的直径，因此刚好可以竖在或横在盒子里。

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6号位(3根)有2种搭配：1号位+6号位=半仓位、2号位+6号位+8号位=满仓位。

根据上诉分析，一定会有两根6号位分别和2根1号位组合，所以只剩下1根6号位可自由搭配。

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7号位(1根)有1种搭配或用于填充2个半仓位：1号位+7号位+8号位=满仓位。

用于填充半仓位时有两种方式：竖着或横着，因为7号位的长度大约等于2个圆柱的直径，因此可以竖在或横在盒子里（不是刚好，因此会留下一个半仓位的空间）。

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8号位(2根)有3种搭配或用于填充3个半仓位：1号位+7号位+8号位=满仓位、2号位+6号位+8号位=满仓位、2号位+8号位×2=半仓位。

用于填充半仓位时2根8号位必须是搭配着，且有两种方式：竖着或横着，因为2根8号位的长度大约等于3个圆柱的直径，因此刚好可以竖在或横在盒子里，所以如果8号位去填充仓位时，必须两根都用上。因此可以看作：8号位+8号位=5号位。

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2、组合分析

依据上诉分析，我们可以整理出一些没法自由搭配的组合：

1. (1号位+6号位)×2=半仓位×2。有2根1号位会占据2个满仓位。
2. (2号位+4号位)×2=满仓位×2。有2根2号位会占据2个满仓位。
3. (3号位+3号位)×2=满仓位×2。有4根3号位会占据2个满仓位。

则剩余的灵感棒：1号位×1、2号位×2、5号位×2、6号位×1、7号位×1、8号位×2。
剩余的仓位：空仓位×3、半仓位×2。

接下来的问题就是如何使用剩余的灵感棒填充剩余的仓位了。

因为可填充半仓位的只有5号位、7号位和8号位，其中5号位和8号位可填充3个半仓位，7号位可填充2个半仓位。因为只剩余3个空仓位，即使全部变为半仓位，半仓位的数量最多就5个，因为可填充2个半仓位的7号位只有1根，所以半仓位的数量不可能为4个。综上所述半仓位的数量只能为3个或5个。

情况1：半仓位为3个

剩余的3个空仓位分配为：2个满仓位和1个半仓位，则剩余的仓位安排为：满仓位×2、半仓位×3。根据剩余的1个半仓位的安排情况可分为如下几种情况：

1. 如果剩余的1个半仓位由1号位提供，可搭配的组合为：1号位+6号位=半仓位，则剩余的7号位没有可搭配的组合。不可行！
2. 如果剩余的1个半仓位由2号位提供，可搭配的组合为：Ⅰ.2号位+5号位=半仓位、Ⅱ.2号位+8号位×2=半仓位。
   当是第Ⅰ种时。剩余的灵感棒：1号位×1、2号位×1、5号位×1、6号位×1、7号位×1、8号位×2。3个半仓位填充方案有2个：
   1. 由1根5号位填充。剩余的灵感棒：1号位×1、2号位×1、6号位×1、7号位×1、8号位×2。两个满仓位的搭配方案：1号位+7号位+8号位=满仓位、2号位+6号位+8号位=满仓位。可行！
   2. 由2根8号位填充。剩余的灵感棒：1号位×1、2号位×1、5号位×1、6号位×1、7号位×1。此时不满足半仓位为3个的条件。不可行！
   当是第Ⅱ种时。剩余的灵感棒：1号位×1、2号位×1、5号位×2、6号位×1、7号位×1。3个半仓位只可由1根5号位填充，此时情况和Ⅰ.2情况相同。不可行！

情况2：半仓位为5个

剩余的3个空仓位分配为：3个半仓位，则剩余的仓位安排为：半仓位×5。此时1个1号位和2个2号位都提供半仓位，所以1号位的搭配就可以固定下来：1号位+6号位=半仓位。剩余的灵感棒：2号位×2、5号位×2、7号位×1、8号位×2。2号位的半仓位提供情况可分为以下2种：

1. (2号位+5号位)×2=半仓位×2。剩余的灵感棒：7号位×1、8号位×2。1根7号位和2根8号位刚好填充5个半仓位。可行！
2. 2号位+8号位×2=半仓位、2号位+5号位=半仓位。剩余的灵感棒：5号位×1、7号位×1。1根5号位和1根7号位刚好填充5个半仓位。可行！

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三、总结

综上所述搭配方案共有如下几种：

1. (1号位+6号位)×2=半仓位×2、1号位+7号位+8号位=满仓位、
   (2号位+4号位)×2=满仓位×2、2号位+5号位=半仓位、2号位+6号位+8号位=满仓位、
   (3号位+3号位)×2=满仓位×2，
   剩余3个半仓位由一根5号位填充。组合方式：\( C_6^1C_3^1C_6^2C_4^2C_2^1=3240 \)种。
2. (1号位+6号位)×3=半仓位×3、
   (2号位+4号位)×2=满仓位×2、(2号位+5号位)×2=半仓位×2、
   (3号位+3号位)×2=满仓位×2，
   剩余5个半仓位由1根7号位和2根8号位填充。组合方式：\( C_4^1C_7^1C_5^2C_4^2=1680 \)种。
3. (1号位+6号位)×3=半仓位×3、
   (2号位+4号位)×2=满仓位×2、2号位+5号位=半仓位、2号位+8号位×2=半仓位、
   (3号位+3号位)×2=满仓位×2，
   剩余5个半仓位由1根5号位和1根7号位填充。组合方式：\( C_4^1C_7^1C_5^2C_4^2=1680 \)种。

总计共有6600种排列方式。