“二分”带来“十分”快感——二分思想的奥秘解析

二分查找是一种非常简单易懂的快速查找算法，生活中到处可见。比如说，我们现在来做一个猜字游戏。我随机写一个0到99之间的数字，然后你来猜我写的是什么。猜的过程中，你每猜一次，我就会告诉你猜的大了还是小了，直到猜中为止。你来想想，如何快速猜中我写的数字呢？

无处不在的二分思想

二分查找是一种非常简单易懂的快速查找算法，生活中到处可见。比如说，我们现在来做一个猜字游戏。我随机写一个0到99之间的数字，然后你来猜我写的是什么。猜的过程中，你每猜一次，我就会告诉你猜的大了还是小了，直到猜中为止。你来想想，如何快速猜中我写的数字呢？

假设我写的数字是23，你可以按照下面的步骤来试一试。（如果猜测范围的数字有偶数个，中间数有两个，就选择较小的那个。）

7次就猜出来了，是不是很快？这个例子用的就是二分思想，按照这个思想，即便我让你猜的是0到999的数字，最多也只要10次就能猜中。不信的话，你可以试一试。

看懂这两个例子，你现在对二分的思想应该掌握得妥妥的了。我这里稍微总结升华一下， 二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想。每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为0。

二分查找惊人的查找速度

二分查找是一种非常高效的查找算法，高效到什么程度呢？我们来分析一下它的时间复杂度。我们假设数据大小是n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，也就是会除以2。最坏情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。

可以看出来，这是一个等比数列。其中n/2k=1时，k的值就是总共缩小的次数。而每一次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过了k次区间缩小操作，时间复杂度就是O(k)。通过n/2k=1，我们可以求得k=log2n，所以时间复杂度就是O(logn)。

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