【每日一题】摘水果

2106. 摘水果

关键词：滑动窗口、二分查找、前缀和

题目来源：2106. 摘水果 - 力扣（Leetcode）

题目描述

 T滑动窗口
 T二分查找
 T前缀和

在一个无限的 x 坐标轴上，有许多水果分布在其中某些位置。给你一个二维整数数组 fruits ，其中 fruits[i] = [positioni, amounti] 表示共有 amounti 个水果放置在 positioni 上。fruits 已经按 positioni 升序排列 ，每个 positioni 互不相同 。

另给你两个整数 startPos 和 k 。最初，你位于 startPos 。从任何位置，你可以选择 向左或者向右 走。在 x 轴上每移动 一个单位 ，就记作 一步 。你总共可以走 最多 k 步。你每达到一个位置，都会摘掉全部的水果，水果也将从该位置消失（不会再生）。

返回你可以摘到水果的 最大总数 。

输入：fruits = [[2,8],[6,3],[8,6]], startPos = 5, k = 4
输出：9

输入：fruits = [[0,9],[4,1],[5,7],[6,2],[7,4],[10,9]], startPos = 5, k = 4
输出：14

输入：fruits = [[0,3],[6,4],[8,5]], startPos = 3, k = 2
输出：0

数据范围
1 <= fruits.length <= 105
fruits[i].length == 2
0 <= startPos, positioni <= 2 * 105
对于任意 i > 0 ，positioni-1 < positioni 均成立（下标从 0 开始计数）
1 <= amounti <= 104
0 <= k <= 2 * 105

滑动窗口

无论如何，最后摘到的水果一定位于区间[l, r]内，且位置l和r上都有水果。考虑区间[l, r]是如何形成的：

1. 先从startPos走到l，再从l走到r，此时步数为(startPos-l)+(r-l)=startPos+r-2l。
2. 先从startPos走到r，再从r走到l，此时步数为(r-startPos)+(r-l)=2r-startPos-l。

无论是上述哪种情况，当r增大时，步数必然增加，为了满足k步这一条件，l必然不可能减小，故区间具有单调性，从而可采用滑动窗口解决。窗口在移动过程中，只需要有一种情况能满足k不要求即可。

同时发现，区间[l, r]在符合条件的情况下越大越好，所以套用最大滑动窗口模板，在不满足窗口条件的情况下更新左指针，在更新左指针的循环外更新结果。

int maxTotalFruits(vector<vector<int>> &fruits, int startPos, int k) {

    auto &f = fruits;

    // 找到第一个符合条件的窗口的左边界
    int l = lower_bound(f.begin(), f.end(), startPos - k, [](const auto &v, int p) {
        return v[0] < p;
    }) - f.begin();
    int r = l, cnt = 0, n = f.size();
    // 第一个符合条件的窗口的右边界为startPos，窗口内水果数量为cnt
    for (; r < n && f[r][0] <= startPos; r++)cnt += f[r][1];

    // 窗口滑动
    int res = cnt;
    for (; r < n && f[r][0] <= startPos + k; r++) {
        // 更新窗口内的水果数
        cnt += f[r][1];
        // 不满足窗口条件的情况下更新左指针
        while (
                f[r][0] * 2 - f[l][0] - startPos > k &&
                f[r][0] + startPos - f[l][0] * 2 > k
                )
            cnt -= f[l++][1];
        // 更新左指针的循环外更新结果
        res = max(cnt, res);
    }

    return res;
}

时间复杂度：O(n)

空间复杂度：O(1)

前缀和+二分

无论如何，最后摘到的水果一定位于区间[l, r]内，不妨设l距startPos有x步，r距startPos有y步，则

• 若先从startPos走到l，再从l走到r，则步数为2x+y
• 若先从startPos走到r，再从r走到l，则步数为2y+x

由于x和y的最大值均为k，最小值均为0，且确定其中一个，另一个就确定了，于是，不妨枚举每一对x、y，对于每一对x、y，都有与之对应的区间[l, r]，区间[l, r]对应的水果数便是一个候选答案，所有候选答案的最大值便是最终答案。

经过上面分析，需要解决两个问题

1. 如果通过x和y快速确定区间[l, r] ==> 二分查找
2. 如果快速求出区间[l, r]中的水果数 ==> 前缀和

由于x和y，确定其中一个，另一个就确定了，不妨枚举x，x表示在上述x和y中不带系数2的哪一个，则另一个带系数2的为(k-x)/2。

int maxTotalFruits(vector<vector<int>> &fruits, int startPos, int k) {

    auto &f = fruits;
    int n = f.size();

    // 预处理前缀和与水果位置
    int s[n + 1], p[n];
    for (int i = s[0] = 0; i < n; i++)
        s[i + 1] = f[i][1] + s[i], p[i] = f[i][0];

    // 枚举x和y
    int res = 0;
    for (int x = k, y, l, r; ~x; x--) {
        y = (k - x) >> 1;
        // 先左后右
        l = lower_bound(p, p + n, startPos - y) - p;
        r = upper_bound(p, p + n, startPos + x) - p;
        res = max(s[r] - s[l], res);
        // 先右后左
        l = lower_bound(p, p + n, startPos - x) - p;
        r = upper_bound(p, p + n, startPos + y) - p;
        res = max(s[r] - s[l], res);
    }
    
    return res;
}

二分查找时需要注意，由于前缀和数组下标从1开始，设x和y对应的实际区间为[tl, tr]，tl、tr也从1开始，则，lower_bound找到是tl-1，upper_bound找到是tr。

时间复杂度：O(klog(n))

空间复杂度：O(n)