【每日一题】子串能表示从 1 到 N 数字的二进制串

1016. 子串能表示从 1 到 N 数字的二进制串

关键词：数学、二进制

题目来源：1016. 子串能表示从 1 到 N 数字的二进制串 - 力扣（Leetcode）

题目描述

 T数学
 T二进制

给定一个二进制字符串 s 和一个正整数 n，如果对于 [1, n] 范围内的每个整数，其二进制表示都是 s 的 子字符串 ，就返回 true，否则返回 false 。

子字符串 是字符串中连续的字符序列。

输入：s = "0110", n = 3
输出：true

输入：s = "0110", n = 4
输出：false

数据范围
1 <= s.length <= 1000
s[i] 不是 '0' 就是 '1'
1 <= n <= 109

问题分析

数学知识：对于所有k位的二进制数（最高位为1，k＞1），将其最高位的1去掉并去除前导0后，可以得到所有1~k-1位的二进制数。

对于题目给定的n，必有k满足2^k≤n＜2^k+1，若s中含有[2^k-1 , 2^k-1]所有的数，也即s中含有所有k位二进制数，则其必定含有所有1~k位的二进制数，剩下的就是判断s中是否含有[2^k, n]所有的数（k+1位）。

于是，问题等价于判断s中是否含有所有k位二进制数和部分k+1位二进制数。

k位二进制数共有2^k-1 个，所以s至少含有2^k-1 个长度为k的01序列，也即m至少为k+2^k-1 -1,。

k+1位二进制数共有n-2^k +1个，所以s至少含有n-2^k +1个长度为k+1的01序列，也即m至少为k+1 + n-2^k +1-1，即k+1 + n-2^k 。

又因为m最大值为1000，所以k必定超过10，故枚举所有长度为k和k+1的序列，将其加入哈希表，最后判断是否存在[2^k-1 , n]所有的数。

当n为1时特殊处理，直接判断s中是否含有1即可。

代码实现

bool queryString(string s, int n) {
    // n=1特殊处理
    if (n == 1)
        return s.find('1') != s.npos;
    // n∈[2^k, 2^(k+1)-1]
    int k = 31;
    while ((1 << --k) >= n);
    // 判断长度
    if (s.size() < (1 << (k - 1)) + k - 1 ||
        s.size() < n - (1 << k) + k + 1)
        return false;
    // 枚举
    auto check = [&](int l, int dn, int up) {
        unordered_set<int> f;
        int t = 0, m = s.size(), M = (1 << l) - 1;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            t = ((t << 1) | (s[i] - '0')) & M;
            if (t >= dn && t <= up)
                f.insert(t);
        }
        return f.size() == up - dn + 1;
    };
    return check(k, 1 << (k - 1), (1 << k) - 1) && check(k + 1, 1 << k, n);
}

时间复杂度：O(log(n)+m)

空间复杂度：O(m)