浅谈，在理论上倍投是不是一定赚？

本文旨在通过简单的数学和计算机模拟，解释为何在赌博中倍投毫无意义。

（假如你觉得在某处看过此文章，没必要惊讶，那很可能也是我写的，只不过被我转移到了这边）

倍投法（马丁格尔策略，Martingale Strategy）是一种赌博策略，该策略的核心思想是在每次输钱之后增加下一次赌注，以期望在赢得一局后能够弥补之前的损失，从而实现盈利。它基于一种假设，即输钱的次数越多，最终赢回来的可能性就越大。

倍投只存在于理论中，只有在赌资、赌注、时间无限的情况下有意义，三个要素只要有一个不满足就是无意义的，显然，现实世界中这三个条件中任意一个都不能被满足。赌博是反直觉的，倍投也是反直觉的，倍投其实并不会让你赚更多，但是同样的，也不会让你亏更多。你的赢钱期望一开始就决定了，所以不需要说什么倍投必死，试试反倍投，任何稀奇古怪的策略都是无意义的。

倍投法存在两个心理骗局，让你觉得这个方法好像可行。

概率很大，但是期望仍然是负的

单纯的概率是没有意义的，赌博是为了赢钱，必须加上收益期望才有意义。

拿抛硬币为例，胜率1/2，玩6轮，从1开始投注。学过小学数学的人会知道，连输6场的概率是1/64，也就是1.5625%。在倍投法中，只要赢一次就能获得收益，因此获得收益的概率为1-1/64，约为98.4375%。看上去是稳赚的，但是这没有意义，因为期望仍然是非正数。

在上面这个简单例子中，假如你赢了一次就跑，你有1/64的几率输掉63元，然后有63/64的几率赚1元。计算期望为1x63/64-63x1/64，结果为0元。

如果你赢了不停，继续下注1元，结果相同。这个也是反直觉的，并不会像赌客所想的那样赢更多，也不会像普通人那样见好不收会亏更多。公式证明有点麻烦，出于篇幅问题，借用一张图片，把规模缩小到3轮，这是轮盘赌红蓝球用倍投法的排列组合。把最右边的期望加起来，其实还是0。

期望为0是50%胜率的公平赌局，现实中赌场的概率都是小于50%的，期望必然为负数。倍投相比均注，会让你从等概率的不赚不赔，变成大概率小赚，小概率大赔。其实还是一样的。除了节省时间以外没有什么意义。

但是在完全理想的环境下，倍投法确实是必赢的，因为你的赌资、时间和下注上限都是正无穷，赢的概率就是必然100%。但是只要条件不是无限，直接把上面的例子等比放大一亿倍也是同样的期望。

黑天鹅其实很常见

倍投基于一个假设，连输的概率很低，但是只要赢一次就能翻本。因此在交替输赢的局面下，倍投可以有较稳定的收益，直到遇到连输才会爆仓离场。但是连输的概率在多轮赌局后，就会非常大。这个很反直觉，但是确实是这样的。比如在上面的抛硬币赌局里，6场里连输6场概率是1.5625%，这个很容易计算出来。但是如果继续玩下去，玩10场、100场、200场呢？通过程序计算排列组合以及随机模拟，可以得出以下结果。代码在最后边。

为了让结果更有趣味性，我还加了记录模拟过程中出现过的最大连输数，这个最大连输次数主要和模拟次数有关。由于计算排列组合的时间复杂度是按指数增加的，超过20局以上就会耗时非常长，因此后续没有列出。

胜率为0.50，10000000次数模拟中,
每6次赌局中平均至少出现一次连输6次发生概率：1.56%,
出现过的最多次连输：6次
胜率为0.5，通过排列组合, 
每6次赌局中平均至少出现一次连输6次发生概率：1/64，1.56%


胜率为0.50，10000000次数模拟中,
每10次赌局中平均至少出现一次连输6次发生概率：4.68%,
出现过的最多次连输：10次
胜率为0.5，通过排列组合, 
每10次赌局中平均至少出现一次连输6次发生概率：48/1024，4.69%


胜率为0.50，10000000次数模拟中,
每50次赌局中平均至少出现一次连输6次发生概率：31.41%,
出现过的最多次连输：28次


胜率为0.50，10000000次数模拟中,
每100次赌局中平均至少出现一次连输6次发生概率：54.47%,
出现过的最多次连输：29次

胜率为0.50，10000000次数模拟中,
每200次赌局中平均至少出现一次连输6次发生概率：79.93%,
出现过的最多次连输：31次

胜率为0.50，10000000次数模拟中,
每1000次赌局中平均至少出现一次连输6次发生概率：99.97%,
出现过的最多次连输：32次

其实这个也是赌徒谬误的一种，“怎么可能连输10把呢？“，上得山多终遇虎，实际上这很容易，只要玩1000盘，连输10把的概率就已经是38%了，玩2000盘就是62%。只要你玩得够多，那什么都能碰上。而且赌局本质上是毫无联系完全随机的，一年每个月玩100把和一天玩1200把并没有本质区别。

总结

显然，赌博中使用倍投的期望只取决于赌局胜率，也就是说倍投并不能改变任何期望。

不过有些问题仍然萦绕不去。在较短期的赌局中，拥有较大的赌资和较小的赌注，确实可以使得胜率非常高，即使此时期望仍然为非正数。比如上面的例子，有98.4375%的几率赢1元，仅有1.5625%的几率输掉63元。总体胜率如此之高，这很让人迷惑，如何说服我不使用倍投？

在某种程度上，这确实呈现出一种悖论，其中期望为非正数是事实，而总体胜率却异常高。这种情况令人容易受到短期内高胜率的吸引。因此，很多网站提到的“在短期内，使用倍投法以小博大是有意义的”也有其合理之处。不过根据上面的计算我们知道，这个悖论不会持续太久，只要时间久一点，黑天鹅就很容易遇见。

代码

以下是模拟的python代码，你可以通过修改开头那几个为大写的变量来改变模拟目的。其中排列组合计算耗时极长，无法在正常时间内算出20局以上的结果，慎用，可以通过注释最后两行来取消排列组合计算。

# -*-coding:utf-8-*-
import random
from typing import Final, Tuple

# 修改下面的变量可以调整模拟的目的
SIM_ROUNDS: Final[int] = 100000  # 模拟次数
LOSING_STREAK_NUM: Final[int] = 6  # 连输次数
BET_ROUNDS: Final[int] = 10  # 赌局次数
P: Final[float] = 0.5  # 赌局胜率
###


def permuting_betting(bet_rounds: int, losing_streak_num: int) -> Tuple[int, int]:
    """
    通过排列组合计算一系列赌局中出现至少连输特定次数的几率，赌局胜率固定为50%，耗时极长
    Args:
        bet_rounds (int): 赌局次数。
        losing_streak_num (int): 连输次数。
    Returns:
        Tuple[int, int]: 至少特定次数连输的排列数；总排列组合数。这两个值的比值为几率。
    """
    reach_losing_streak_times: int = 0
    for curr_bet in range(0, 1 << bet_rounds):
        losing_streak_count: int = 1
        prev_lowbit: int = 0
        while curr_bet != 0:
            curr_lowbit: int = curr_bet & -curr_bet
            losing_streak_count = losing_streak_count + \
                1 if curr_lowbit == prev_lowbit << 1 else 1
            if losing_streak_count >= losing_streak_num:
                reach_losing_streak_times += 1
                break
            prev_lowbit = curr_lowbit
            curr_bet &= curr_bet-1
    return reach_losing_streak_times, 2**bet_rounds


def simulate_betting(sim_rounds: int, bet_rounds: int, p: float, losing_streak_num: int) -> Tuple[float, int]:
    """
    通过模拟计算一系列赌局中出现至少连输特定次数的几率，赌局胜率可调，耗时正常
    Args:
        sim_rounds (int): 模拟次数，影响精度、耗时、以及最大连输次数。
        bet_rounds (int): 赌局次数。
        p (float): 赌局胜率。
        losing_streak_num (int): 连输次数。
    Returns:
        Tuple[float, int]: 至少连输特定次数的几率；最大连输次数。
    """
    def simulate_betting_helper(bet_rounds: int, p: float, losing_streak_num: int) -> Tuple[bool, int]:
        losing_streak_count: int = 0
        max_losing_streak: int = 0
        reach_losing_streak_num: bool = False
        for _ in range(bet_rounds):
            win: bool = random.random() < p
            losing_streak_count = losing_streak_count+1 if not win else 0
            max_losing_streak = max(max_losing_streak, losing_streak_count)
            reach_losing_streak_num = losing_streak_count >= losing_streak_num or reach_losing_streak_num
        return reach_losing_streak_num, max_losing_streak

    avg_freq_reach_losing_streak: float = 0.0
    max_losing_streak: int = 0
    reached_times: int = 0
    for _ in range(sim_rounds):
        reached, curr_max_losing_streak = simulate_betting_helper(
            bet_rounds, p, losing_streak_num)
        reached_times += 1 if reached else 0
        max_losing_streak = max(curr_max_losing_streak, max_losing_streak)

    avg_freq_reach_losing_streak = reached_times/SIM_ROUNDS
    return avg_freq_reach_losing_streak, max_losing_streak


if __name__ == '__main__':
    avg_freq_reach_losing_streak, max_losing_streak = simulate_betting( SIM_ROUNDS, BET_ROUNDS, P, LOSING_STREAK_NUM)
    print(f"胜率为{P}，{SIM_ROUNDS}次数模拟中, \n每{BET_ROUNDS}次赌局中平均至少出现一次连输{LOSING_STREAK_NUM}次发生概率：{avg_freq_reach_losing_streak*100:.2f}% \n出现过的最多次连输：{max_losing_streak}次")
    # 计算排列组合，耗时极长
    reached_times, all_permutations = permuting_betting( BET_ROUNDS, LOSING_STREAK_NUM)
    print( f"胜率为0.5，通过排列组合, \n每{BET_ROUNDS}次赌局中平均至少出现一次连输{LOSING_STREAK_NUM}次发生概率：{reached_times}/{all_permutations}，{reached_times/all_permutations*100:.2f}%")

参考

Martingale (betting system))
The Martingale system paradox