精读《算法题 - 地下城游戏》

今天我们看一道 leetcode hard 难度题目：地下城游戏。

恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城 dungeon 的 右下角 。地下城是由 m x n 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士最初被安置在 左上角 的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。

骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。

有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。

为了尽快解救公主，骑士决定每次只 向右 或 向下 移动一步。

返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。

注意：任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

<img width=400 src="https://user-images.githubusercontent.com/7970947/263517730-f0614372-02c5-4ddf-8ffe-5410ffa3a68b.png">

输入：dungeon = [[-2,-3,3],[-5,-10,1],[10,30,-5]]

输出：7

解释：如果骑士遵循最佳路径：右 -> 右 -> 下 -> 下 ，则骑士的初始健康点数至少为 7 。

思考

挺像游戏的一道题，首先只能向下或向右移动，所以每个格子可以由上面或左边的格子移动而来，很自然想到可以用动态规划解决。

再想一想，该题必须遍历整个地下城而无法取巧，因为最低健康点数无法由局部数据算出，这是因为如果不把整个地下城走完，肯定不知道是否有更优路线。

动态规划

二维迷宫用两个变量 i j 定位，其中 dp[i][j] 描述第 i 行 j 列所需的最低 HP。

但最低所需 HP 无法推断出是否能继续前进，我们还得知道当前 HP 才行，比如：

// 从左到右走
3 -> -5 -> 6 -> -9

在数字 6 的位置所需最低 HP 是 3，但我们必须知道在 6 时勇者剩余 HP 才能判断 -9 会不会直接导致勇者挂了，因此我们将 dp[i][j] 结果定义为一个数组，第一项表示当前 HP，第二项表示初始所需最低 HP。

代码实现如下：

function calculateMinimumHP(dungeon: number[][]): number {
  // dp[i][j] 表示 i,j 位置 [当前HP, 所需最低HP]
  const dp = Array.from(dungeon.map(item => () => [0, 0]))
  // dp[i][j] = 所需最低HP最低(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
  dp[0][0] = [
    dungeon[0][0] > 0 ? 1 + dungeon[0][0] : 1,
    dungeon[0][0] > 0 ? 1 : 1 - dungeon[0][0]
  ]
  for (let i = 0; i < dungeon.length; i++) {
    for (let j = 0; j < dungeon[0].length; j++) {
      if (i === 0 && j === 0) {
        continue
      }

      const paths = []
      if (i > 0) {
        paths.push([i - 1, j])
      }
      if (j > 0) {
        paths.push([i, j - 1])
      }

      const pathResults = paths.map(path => {
        let leftMaxHealth = dp[path[0]][path[1]][0] + dungeon[i][j]
        // 剩余HP大于 0 则无需刷新最低HP，否则尝试刷新取最大值
        let lowestNeedHealth = dp[path[0]][path[1]][1]
        if (leftMaxHealth <= 0) {
          // 最低要求HP补上差价
          lowestNeedHealth += 1 - leftMaxHealth
          // 最低需要HP已补上，所以剩余HP也变成了 1
          leftMaxHealth = 1
        }
        return [leftMaxHealth, lowestNeedHealth]
      })

      // 找到 pathResults 中 lowestNeedHealth 最小项
      let minLowestNeedHealth = Infinity
      let minIndex = 0
      pathResults.forEach((pathResult, index) => {
        if (pathResult[1] < minLowestNeedHealth) {
          minLowestNeedHealth = pathResult[1]
          minIndex = index
        }
      })

      dp[i][j] = [pathResults[minIndex][0], pathResults[minIndex][1]]
    }
  }

  return dp[dungeon.length - 1][dungeon[0].length - 1][1]
};

首先计算初始位置 dp[0][0]，因为只看这一个点，因此如果有恶魔，最少初始 HP 为能击败恶魔后自己剩 1 HP 就行了，如果房间是空的，至少自己 HP 得是 1（否则勇者进迷宫之前就挂了），如果有魔法球，那么初始 HP 为 1（一样防止进迷宫前挂了）。

初始 HP 稍有不同，如果房间是空的或者有恶魔，那打完恶魔之后最多剩 1 HP 最经济，所以此时 HP 初始值就是 1，如果有魔法球，那么一方面为了防止进入迷宫前自己就挂了，得有个初始 1 的 HP，魔法球又必须得吃，所以 HP 是 1 + 魔法球。

接着就是状态转移方程了，由于 dp[i][j] 可以由 dp[i-1][j] 或 dp[i][j-1] 移动得到（注意 i 或 j 为 0 时的场景），因此我们判断一下从哪条路过来的最低初始 HP 最低就行了。

如果进入当前房间后，房间是空的，有魔法球，或者当前 HP 可以打败恶魔，则不影响最低初始 HP，如果当前 HP 不足以击败恶魔，则我们把缺的 HP 给勇者在初始时补上，此时极限一些还剩 1 HP，得到一个最经济的结果。

然后我们提交代码发现，无法 AC！下面是一个典型挂掉的例子：

1   -3    3
0   -2    0
-3  -3   -3

我们把 DP 中间过程输出，发现右下角的 5 大于最优答案 3.

[
  [ 2, 1 ], [ 1, 3 ], [ 4, 3 ]
  [ 2, 1 ], [ 1, 2 ], [ 1, 2 ]
  [ 1, 3 ], [ 1, 5 ], [ 1, 5 ]
]

观察发现，勇者先往右走到头，再往下走到头答案就是 3，问题出在 i=1,j=2 处，也就是中间行最右列的 [1, 2]。但从这一点来看，勇者从左边过来比从上面过来需要的初始 HP 少，因为左边是 [1, 2] 上面是 [4, 3]，但这导致了答案不是最优解，因为此时剩余 HP 不够，右下角是一个攻击为 3 的恶魔，而如果此时我们选择了初始 HP 高一些的 [4, 3]，换来了更高的当前 HP，在不用补初始 HP 的情况就能把右下角恶魔干掉，整体是更划算的。

如果此时我们在玩游戏，读读档也就能找到最优解了，但悲剧的是我们在写一套算法，我们发现当前 DP 项居然还可能由后面的值（攻击力为 3 的恶魔）决定！ 用专业的话来说就是有后效性导致无法使用 DP。

我们在判断每一步最优解时，其实有两个同等重要的因素影响判断，一个是初始最少所需 HP，它的重要度不言而喻，我们最终就希望这个答案尽可能小；但还有当前 HP 呢，当前 HP 高意味着后面的路会更好走，但我们如果不往后看，就不知道后面是否有恶魔，自然也不知道要不要留着高当前 HP 的路线，所以根本就无法根据前一项下结论。

因为考虑的因素太多了，我们得换成游戏制作者的视角，假设作为游戏设计者，而不是玩家，你会真的从头玩一遍吗？如果真的要设计这种条件很极限的地下城，设计者肯定从结果倒推啊，结果我们勇者就只剩 1 HP 了，至于路上会遇到什么恶魔或者魔法球，反过来倒推就一切尽在掌握了。所以我们得采用从右下角开始走的逆向思维。

逆向思维

为什么从结果倒推，DP 判断条件就没有后效性了呢？

先回忆一下从左上角出发的情况，为什么除了最低初始 HP 外还要记录当前 HP？原因是当前 HP 决定了当前房间的怪物勇者能否打得过，如果打不过，我们得扩大最低初始 HP 让勇者能在仅剩 1 HP 的情况险胜当前房间的恶魔。但这个当前 HP 值不仅要用来辅助计算最低初始 HP，它还有一个越大越好的性质，因为后面房间可能还有恶魔，得留一些 HP 预防风险，而 "最低初始 HP" 尽可能低与 "当前 HP" 尽可能高，这两个因素无法同时考虑。

那为什么从右下角，以终为始的考虑就可以少判断一个条件了呢？首先最低初始 HP 我们肯定要判断的，因为答案要的就是这个，那当前 HP 呢？当前 HP 重要吗？不重要，因为你已经拯救到公主了，而且是以最低 HP 1 点的状态救到了公主，按故事路线逆着走，遇到恶魔房间，恶魔攻击是多少我就给你加多少初始 HP，遇到魔法球恢复了我就给你扣对应初始 HP，总之能让你正好战胜恶魔，魔法球补给你的 HP 我也扣掉，就可以了。核心区别是，此时当前 HP 已经不会影响最低初始 HP 了，因为初始 HP 就是从头推的，我们反着走地下城，每次实际上都是在判断这个点作为起点时的状态，所以与之前的路径无关。

代码很简单，如下：

function calculateMinimumHP(dungeon: number[][]): number {
  // dp[i][j] 表示 i,j 位置最少HP
  const dp = Array.from(dungeon.map(item => () => [0, 0]))
  // 右下角起始 HP 1，遇到怪物加血，遇到魔法球扣血，实际上就是 -dungeon 计算
  const si = dungeon.length - 1
  const sj = dungeon[0].length - 1
  dp[si][sj] = dungeon[si][sj] > 0 ? 1 : 1 - dungeon[si][sj]
  for (let i = si; i >= 0; i--) {
    for (let j = sj; j >= 0; j--) {
      if (i === si && j === sj) {
        continue
      }

      const paths = []
      if (i < si) {
        paths.push([i + 1, j])
      }
      if (j < sj) {
        paths.push([i, j + 1])
      }

      const pathResults = paths.map(path => dp[path[0]][path[1]] - dungeon[i][j])
      // 选出最小 HP 作为 dp[i][j]，但不能小于 1
      dp[i][j] = Math.max(Math.min(...pathResults), 1)
    }
  }

  return dp[0][0]
};

逆向思维为什么就能减少当前 HP（或者说路径和，或者说所有之前节点的影响）判断呢？我猜你大概率还是没彻底明白。因为这个思考非常关键，可以说是这道题 99% 的困难所在，还是画个图解释一下:

<img width=800 src="https://user-images.githubusercontent.com/7970947/263527687-3dfa32b0-cedf-4032-8434-6ccb98cd156f.png">

上图是勇者正常探险的思路，下面是逆向（或公主救勇者）的思路。

<img width=800 src="https://user-images.githubusercontent.com/7970947/263527731-492bd2f5-411e-44c7-a68e-2197d37b582b.png">

总结

该题很容易想到使用动态规划解决，但因为目标是求最低的初始健康点需求，所以按照勇者路径走的话，后续未探索的路径会影响到目标，所以我们需要从公主角度反向寻找勇者，才可以保证动态规划的每个判断点都只考虑一个影响因素。

讨论地址是：精读《算法 - 地下城游戏》· Issue #498 · dt-fe/weekly

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