海明校验码

二进制数据在传送、存取等环节，可能会发生误码(1变成0或0变成1). 如何发现并纠正误码? 解决此类问题的思路是在原始数据(数码位)基础上增加几位校验位。常使用的检验码有三种. 分别是 奇偶校验码、海明校验码和循环冗余校验码(CRC)")

其中 奇偶校验码 只能查是否有错误而无法纠错，且要求只能有一位出现错误。

为了能找到发生错误的位置，而有了 海明校验码

实际上本质来说, 海明码是升级款的奇偶校验码,其采用了一种非常巧妙的方式,把这串数字(即要传输的内容)分了组,通过分组校验来确定哪一位出现了错误

类似KMP算法,描述起来很麻烦,实际上使用起来却很简单

"海明"也被译为"汉明"

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实例

数据位为8的数据 $D_7D_6D_5D_4D_3D_2D_1D_0=01101001$,求海明码

1.计算校验位的个数

设数据位为n位，校验位P为k位，则n和k必须满足以下关系：

$$2^k - 1 ≥ n + k$$

此例中有 $2^k - 1 ≥ 8 + k$，可得k最小应为4，即 16 - 1 ≥ 8 + 4。

(奇偶校验称为 Parity Check,Parity Bit即奇偶校验位,故用P表示校验位)

2.计算校验位的位置

2.1 海明码的总位数

设校验位为P,数据位为D,海明码为H,则海明码H的位数为数据的位数和校验码的位数相加,

在此即为 8+4 = 12 位

2.2 校验码的位置

校验位P 在海明码的第 $2^{i-1}$ 位，即 $H_j = P_i，j=2^{i-1}$，i从1开始计数。

无论是海明码、校验位还是数据位，均从右向左排列，即从低位向高位排列。

可先填入校验码的位置，再将数据位依次从低位到高位填入

如此例,i即为 1,2,3,4, 故有:

3.确定每个数据位都由哪些校验码进行校验

根据 $2^{i-1}$ 的公式,可知 $P_4、P_3、P_2、P_1$ 的下标分别为8、4、2、1

确定 $D_0-D_7$ 每个数据位都是由哪些校验码(P)进行校验的

数据位D的下标,等于其校验位的下标之和

4.计算校验码的值

校验码的值为有参与校验的数据依次从低到高异或的值。

(异或:相同为0,相异为1)

因为 $D_7D_6D_5D_4D_3D_2D_1D_0=01101001$

$P_1$ 参与了 $D_0、D_1、D_3、D_4、D_6$ 等数据位的校验。

$P_2$ 参与了 $D_0、D_2、D_3、D_5、D_6$ 等数据位的校验。

$P_3$ 参与了 $D_1、D_2、D_3、D_7$ 等数据位的校验。

$P_4$ 参与了 $D_4、D_5、D_6、D_7$ 等数据位的校验。

所以：（$D_7D_6D_5D_4D_3D_2D_1D_0=01101001$）

$$P_1 = D_0⊕D_1⊕D_3⊕D_4⊕D_6 = 1⊕0⊕1⊕0⊕1 = 1$$

$$P_2 = D_0⊕D_2⊕D_3⊕D_5⊕D_6 = 1⊕0⊕1⊕1⊕1 = 0$$

$$P_3 = D_1⊕D_2⊕D_3⊕D_7 = 0⊕0⊕1⊕0 = 1$$

$$P_4 = D_4⊕D_5⊕D_6⊕D_7 = 0⊕1⊕1⊕0 = 0$$

5.错误校验

确定错误校验 $G_4G_3G_2G_1$，校验码有几位，错误校验就有几位。

如果采用偶校验则结果全为0时没有错误，如果采用奇校验则结果全为1时没有错误

$$G_1 = P_1D_0⊕D_1⊕D_3⊕D_4⊕D_6 = 1⊕1⊕0⊕1⊕0⊕1 = 0$$

$$G_2 = P_2D_0、D_2、D_3、D_5、D_6 = 0⊕1⊕0⊕1⊕1⊕1 = 0$$

$$G_3 = P_3D_1、D_2、D_3、D_7 = 1⊕0⊕0⊕1⊕0 = 0$$

$$G_4 = P_4D_4、D_5、D_6、D_7 = 0⊕0⊕1⊕1⊕0 = 0$$

则 $G_4G_3G_2G_1 = 00004$，表示没有异常。假如结果为0100则转为十进制为8，表示第八位存在异常。

海明码是一种纠错码，其方法是为需要校验的数据位增加若干校验位，使得校验位的值决定于某些被校位的数据，当被校数据出错时，可根据校验位的值的变化找到出错位，从而纠正错误。对于32位的数据，至少需要增加（）个校验位才能构成海明码。

以10位数据为例，其海明码表示为 D（0≤i≤9）表示数据位，P
（1 ≤j≤4）表示校验位，数据位D由（）进行校验。