线性代数学习笔记（一）|向量和向量空间

向量

向量相加

向量相加即向量的各分量依次相加。
\( a+b=(a_1, a_2, ..., a_n)+(b_1, b_2, ..., b_n)=(a_1+b_1, a_2+b_2, ..., a_n+b_n) \)

向量点积

向量点积即向量的各分量依次相乘，各项结果相加
\( a \cdot b=a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + ... + a_n \cdot b_n=\sum_{i=1}^n{a_i b_i} \)

向量长度

顾名思义
\( ||a|| = \sqrt{a \cdot a} \)

向量夹角

顾名思义
\( cos \theta= \frac{a \cdot b}{||a||||b||}, a,b\ne0 \)

向量空间

向量空间是向量的集合，该集合对元素向量的加法和数乘封闭。
即当 \( a \in V, b \in V \), 必有 \( a+b \in V \)
若 \( a \in V, k \in R \), 则必有 \( ka \in V \)

向量组

向量空间中的一组向量，必定同维。

向量组合与线性相关性

向量空间\( V \)中的一组向量\( x_1, x_2, ..., x_n \)，给定一组实数\( k_1, k_2, ..., k_n \)，对于向量空间\( V \)中的向量\( b \)，存在\( b=k_1x_1 + k_2x_2 + ... + k_nx_n \)，则称\( b \)为该向量组的线性组合，或称\( b \)能被这组向量线性表示。
而若一个向量组中任一向量都不能被其他向量线性表示，则称这组向量线性无关。否则这组向量线性相关。

张成空间

一个向量组\( {v_1, v_2, ..., v_n} \)的所有线性组合组成的集合\( V \)，称为该向量组的张成空间，记为\( span(v_1, v_2, ..., v_n) \)，或称该向量组张成\( V \)

向量空间的基

若存在线性无关的向量组\( A={v_1, v_2, ..., v_n} \)张成向量空间\( V \)，则称向量组\( A \)为空间\( V \)的一个基。
对于向量\( V \)中任意一个向量\( b \)，都可以被唯一地表示为\( b=k_1v_1+k_2v_2+...+k_nv_n \)

空间的维度

即空间\( V \)的的一个基中的向量个数。